图形学-Animation动画

动画是一种信息传递的工具
- 美学经常比技术重要
是模型的延伸 → 连续性
- 将场景模型表示为时间的函数
- 输出一系列图像，当顺序查看时提供运动的感觉
帧率
- 电影：24FPS
- 视频：30FPS、29.994FPS
- VR：90FPS （不晕的基础要求）

关键帧动画

动画师创建关键帧
助手（人工或程序）创建中间帧

其中的关键技术即为插值技术

线性插值: 通常可能不太满足动画需求
样条插值: 更平滑的插值方式
- Catmull-Rom 样条
- B 样条
- Bezier 曲线

物理仿真动画

模拟、仿真：推导、实现公式，模拟出物体应该怎么变化

例子：布料模拟、流体模拟

质点弹簧系统 Mass-Spring System

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一个弹簧左右连接两个质点，位置是 $\mathbf a, \mathbf b$ ，弹簧劲度系数为 $k_S$ 。

当弹簧拉伸时候，弹簧会对两个质点施加一个拉力：

质点 $\mathbf a$ 受到的往 $\mathbf b$ 方向的拉力为：

$\mathbf f_{a \rightarrow b} = k_S ( \mathbf b - \mathbf a)$

质点 $\mathbf b$ 受到的往 $\mathbf a$ 方向的拉力为：

$\mathbf f_{b \rightarrow a} = - \mathbf f_{a \rightarrow b} = k_S ( \mathbf a - \mathbf b)$

这就是胡克定律。

非零长度的弹簧

但是实际的弹簧不可能是零长度的，假设弹簧的自然长度为 $l$ ，称之为rest length则弹簧拉力变为：

$\mathbf f_{a \rightarrow b} = k_S \frac{\mathbf b - \mathbf a}{||\mathbf b - \mathbf a||} ( ||\mathbf b - \mathbf a|| - l)$

公式表达了:

当弹簧被拉伸时， $||\mathbf b - \mathbf a|| - l > 0$ ，即弹簧拉伸了多长的长度，再带上弹簧的劲度系数 $k_S$ ，再乘上一个单位方向向量受力方向，得到弹簧对质点 $\mathbf a$ 的拉力的向量。
当弹簧被压缩时， $||\mathbf b - \mathbf a|| - l < 0$ ，即弹簧压缩了多长的长度，再带上弹簧的劲度系数 $k_S$ ，再乘上一个单位方向向量受力方向，得到弹簧对质点 $\mathbf a$ 的推力的向量。

带阻尼的弹簧

但是只按照上面的弹簧力来模拟的话，弹簧会一直振动下去，永远不会停下来。因为能量守恒导致其中的动能和势能会一直在相互转换。

导数记号

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在物理仿真中，常用记法:

使用 $\mathbf x$ 表示一个位置向量。
使用 $\dot{\mathbf x}$ 表示位置向量的时间导数，即速度向量。
使用 $\ddot{\mathbf x}$ 表示位置向量的二阶时间导数，即加速度向量。

Damping Force 阻尼力

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这里可以引入阻尼力，假设一个质点 $\mathbf b$ 受到的阻尼力与其速度成正比，且方向总是与速度相反：

$\mathbf f = - k_d \dot{\mathbf b}$

其中 $k_d$ 为阻尼系数。这将会让质点的速度逐渐变小，最终停下来。

问题：这将会让所有的运动都停下来。假设弹簧相连的两个质点 $\mathbf a, \mathbf b$ 相对静止，但整体在运动，这时阻尼力就会让整体运动都停下来。

弹簧的内部阻尼力

考虑到以下思考：

弹簧的阻尼力只是一个弹簧系统的内力
弹簧的对质点的阻尼力只与两个质点的相对速度有关，与其整体的速度无关
弹簧对质点的阻尼力只与沿着弹簧方向上的速度有关，假如 b 绕 a 做匀速圆周运动，则弹簧的长度不变，弹簧不应该对质点施加阻尼任何力

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假设弹簧连接的两个质点 $\mathbf a, \mathbf b$ ，则弹簧对质点 $\mathbf b$ 的阻尼力为：

$f_{b} = - k_d \left( \dot{\mathbf b} - \dot{\mathbf a} \right) \cdot \frac{\mathbf b - \mathbf a}{||\mathbf b - \mathbf a||} \cdot \frac{\mathbf b - \mathbf a}{||\mathbf b - \mathbf a||}$

$\frac{\mathbf b - \mathbf a}{||\mathbf b - \mathbf a||}$ 为质点 $\mathbf a$ 指向质点 $\mathbf b$ 的单位方向向量。

$\left( \dot{\mathbf b} - \dot{\mathbf a} \right) \cdot \frac{\mathbf b - \mathbf a}{||\mathbf b - \mathbf a||}$ 为质点 $\mathbf b$ 相对于质点 $\mathbf a$ 在弹簧方向上的相对速度的大小。