引言 波动方程是数学物理中最重要的偏微分方程之一，描述了波在介质中的传播规律。从弦的振动、声波传播到电磁波辐射，波动方程都是描述这些物理现象的基础工具。 本文将从物理模型出发，详细推导一维波动方程的标准形式： ∂2u∂t2=c2∂2u∂x2\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} ∂t2∂2u​=c2∂x2∂2u​ 其中 u(x,t)u(x,t)u(x,t) 表示位移函数，ccc 为波速。 物理模型：弹性弦的微小振动 基本假设 考虑一根长度为 LLL 的弹性弦，两端固定在 x=0x=0x=0 和 x=Lx=Lx=L 处。对弦的振动做以下理想化假设： 弦是完全柔软的：弦只能承受拉力，不能承受弯矩 弦的线密度恒定：设为 ρ\rhoρ (kg/m) 弦在拉紧状态下振动：张力 TTT 为常数 振动是微小的：弦上各点的位移远小于弦长，可忽略二阶小量 振动只发生在垂直方向：不考虑纵向位移 在这些假设下，弦的振动可以用位移函数 u(x,t)u(x,t)u(x,t) 描述，其中 xxx ...

在日常开发中，我们经常会在自己的功能分支上进行多次提交，这些提交可能包含了很多"修复typo"、"调整格式"等杂乱的中间提交。当准备向上游分支提交PR时，将这些杂乱的commit压缩成一个干净、整洁的commit是一个好习惯。本文将介绍如何使用git reset --soft来实现这一目标。 场景说明 假设我们有以下场景： 本地开发分支：feat-dev 上游目标分支：upstream/develop 目标：将feat-dev分支相对于upstream/develop的所有commit压缩成一个commit 完整操作步骤 第一步：确保代码已提交 在开始操作前，确保当前工作区是干净的： 1git status 如果有未提交的更改，请先提交或暂存。 第二步：更新上游分支（重要！） 在压缩提交之前，强烈建议先更新本地的上游分支，以避免后续合并时产生冲突： 12345# 获取上游仓库的最新代码git fetch upstream# 或者如果你没有设置upstream remote，可能是origingit fetch origin 第三步 ...

[指弹+唱歌] 12345G C D噜啦噜啦咧 噜啦噜啦咧噜啦噜啦咧 噜啦噜啦咧勇敢向前进 前进有奖品我要跑第一 1234567891011D D D D 要开飞机 要电视机 5 5 5 5要CD机 要mp38 8 8 8要冰淇淋 要人民币 10 10 10 10 10不要太贪心 [弹唱] 12345678G Am聪明勇敢有力气 我真的羡慕我自己D G 呼啦圈也没问题 后空翻两周再敬个礼G Am天南地北不放弃 去寻找减肥的朱古力D G圆头圆脑圆肚皮 里面是生命的真谛 [指弹+唱歌] 12343 0 2 3 3 3 3 3 3 2 3 5让我们呼啦啦啦啦啦高歌一曲555~~~我来弹琴 呀 你吹牛皮 [指弹+唱歌] 12345G C D我要开飞机 我要当经理我要拿高薪 还有冰淇淋我要得第一 不能太费力我们和你 [指弹+唱歌] 12345678D D D D心5 5 5 5有8 8 8 8灵10 10 10 10 1 ...

原始视频 https://www.bilibili.com/video/BV1CF4czxEix/ 完整歌词 1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344Dormi cara columbula睡吧，睡吧，我的小鸽子O columbula mea睡吧，我亲爱的小鸽子呀Splendeat fenestra, adsint somnia flora愿繁花与美梦盛开在你窗边O cara filia lunae月亮的孩子呀，我的小鸽子Neve plumam pulvis foedet tuam即便尘埃玷染你洁白的羽毛Nec iam complexum alma即便你不再躺在温暖的怀抱Capias bona somnias a luna也愿你在梦中与月相伴而眠Dormi cara columbula睡吧，睡吧，我的小鸽子O columbula mea睡吧，我亲爱的小鸽子呀Splendeat fenestra, adsint somnia flora愿繁花与美梦盛开在你窗边O ca ...

在 AI 大模型、推荐系统、语义检索等场景的推动下，向量数据库作为承载高维特征数据的核心组件，其选型直接影响系统的部署效率、扩展性与运维成本。本文将聚焦两款热门开源向量数据库 Milvus 与 Qdrant，结合与传统文档型数据库（如 MongoDB）的差异，从技术特性、部署模式、架构组件、查询机制等维度展开全面对比，为开发者提供客观的选型参考。 一、向量数据库基础认知 1. 与传统数据库的核心区别 传统 SQL 数据库以二维表（行列）组织数据，数据关联依赖字段映射； 文档型数据库（如 MongoDB）：以collection为存储单元，每个元素是 JSON/BSON 结构化document，适合非结构化数据的灵活存储； 向量数据库：同样以collection为存储单元，核心存储单元为「点」，每个点由唯一 ID+向量特征+自定义元数据（payload） 构成，专为高维向量的快速相似性检索设计，兼顾结构化元数据查询与高维向量计算能力。 2. 核心关键概念 数据向量化：通过机器学习 Embedding 模型，将文本、图像、音频等非结构化数据转化为高维向量，精准捕捉数据核心特征（ ...

本文整理了 GAMES101 计算机图形学课程的笔记大纲，方便快速查找和学习相关内容。 基础变换 GAMES101 笔记-三大变换 介绍计算机图形学中的三大核心变换： Model 模型变换（缩放、旋转、平移） View 相机变换 Projection 投影变换（正交投影、透视投影） 罗德里格斯旋转公式 光栅化 GAMES101 笔记-光栅化 光栅化是将三维场景投影到二维屏幕的过程： Viewport 视口变换 三角形渲染离散化 深度测试 Z-Buffer 反走样技术 着色 GAMES101 笔记-着色(Shading) 着色是对物体应用不同材质的过程： Blinn-Phong 反射模型（BPR） 着色频率 图形管线 纹理映射 几何 GAMES101 笔记-几何(Geometry) 几何表示方法和曲线曲面： 隐式表示与显式表示 贝塞尔曲线 贝塞尔曲面 光线追踪 光线追踪是计算机图形学中用于生成逼真图像的重要技术，本课程分为多个部分深入讲解： GAMES101 笔记-光线追踪(Whitted 风格) 介绍经典的 Whitted 风格光线追踪： 光线追踪 ...

Whitted-Style 光线追踪的问题 Whitted-Style 风格的光线追踪特点： 总是计算镜面反射和折射。 在漫反射表面上光线不会反弹。 但这些假设是有问题的，因此需要引入路径追踪。 左边像镜子，右边像磨砂金属。 左边是完全的镜像反射 Mirror reflection，右边是 Glossy reflection。 一根光线从上面打到了一个漫反射物体表面，光线就不再弹射了，这导致如图左侧所示的黑色阴影区域。 如右图物体表面呈现红色区域，说明红色的墙面的颜色跑到了物体表面上，这种现象称之为color bleeding。这是因为光线打到了墙面后，光线又反弹到了物体表面上，说明了全局光照会反弹不止一次。 如果没有全局光照，天花板就是黑的，物体侧面就是黑的。 Whitted-Style 光线追踪的错误 所以 Whitted-Style 风格的光线追踪是错误的，渲染方程是正确的。 如果需要正确计算物体表面上一个点打到的光线，则需要求解渲染方程。 但是求解它，需要计算半球上的积分，这是一个递归的执行流程。 这个积分式可以使用蒙特拉洛积分的方式来求解。 蒙特拉洛方式求解渲 ...

概率论简单回顾 随机变量 Random Variable 随机变量 $ X $：代表潜在值的分布。 概率密度函数（PDF）$ X \sim p(x) $：描述随机过程选取值 $ x $ 的相对概率。 示例：均匀的概率密度函数：在一个定义域内所有值的可能性均等。 例如：六面骰子，$ X $ 取值为 $ 1,2,3,4,5,6 $，且 $ p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6) $。 概率 Probabilities 存在 $ n $ 个离散值 $ x_i $，每个值对应概率 $ p_i $。 概率分布的要求： $ p_i \geq 0 $ $ \sum_{i = 1}^{n} p_i = 1 $ 六面骰子示例：$ p_i = \frac{1}{6} $ 随机变量的期望 Expected Value of a Random Variable 是从随机分布中反复抽取样本时得到的平均值。 若随机变量 $ X $ 来自具有 $ n $ 个离散值 $ xi $（对应概率为 $ p_i ）的分布，）的分布，）的分布， X $ 的期望值为：$ E ...

Radiance vs Irradiance 辐射/亮度 vs 辐照度 Irradiance 辐照度: 单位面积上接收到的辐射功率 Radiance 辐射/亮度: 在dωd\omegadω立体角方向上，单位面积上接收到的辐射功率 沿着某个方向ω\omegaω入射到点ppp上的辐射亮度为Li(p,ω)L_i(p, \omega)Li​(p,ω)，则该点在该方向ω\omegaω上单位面积上接收到的辐照度为dE(p)d E(p)dE(p)。 dE(p,ω)=Li(p,ω)⋅cos⁡θ⋅dωd E(p, \omega) = L_i(p, \omega) \cdot \cos \theta \cdot d\omega \\ dE(p,ω)=Li​(p,ω)⋅cosθ⋅dω 则在所有方向上入射到点ppp上的辐照度为： E(p)=∫H2Li(p,ω)⋅cos⁡θ⋅dωE(p) = \int_{H^2} L_i(p, \omega) \cdot \cos \theta \cdot d\omega E(p)=∫H2​Li​(p,ω)⋅cosθ⋅dω BRDF 双向反射分布函数(Bidirect ...

单质点模拟 首先，提出先聚焦于单个粒子的运动，之后再将研究推广到大量粒子的情况。 为开展研究，假设粒子的运动由速度矢量场决定。该速度矢量场是位置xxx和时间ttt的函数，记为v(x,t)v(x,t)v(x,t)。 右侧的图示直观呈现了速度矢量场（由箭头表示）以及粒子在该速度场中运动的轨迹。 常微分方程 Ordinary Differential Equation (ODE) 计算速度场内粒子的位置需要计算一阶常微分方程 dxdt=x˙=v(x,t)\frac{dx}{dt} = \dot{x} = v(x, t) dtdx​=x˙=v(x,t) 欧拉方法 Euler’s Method 欧拉方法，又称为前向欧拉，显式欧拉，是数值积分中最简单的方法之一。 使用很简单的迭代的方式 很常见 很不准 结果通常不稳定 始终使用前一段的量估计下一帧的量。 xt+Δt=xt+Δt⋅x˙tx˙t+Δt=x˙t+Δt⋅x¨tx^{t+\Delta t} = x^t + \Delta t \cdot \dot{x}^t \\ \dot{x}^{t+\Delta t} = \dot{x}^t + ...