图形学-光线追踪(渲染方程与概率论)

Radiance vs Irradiance 辐射/亮度 vs 辐照度

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Irradiance 辐照度: 单位面积上接收到的辐射功率
Radiance 辐射/亮度: 在 $d\omega$ 立体角方向上，单位面积上接收到的辐射功率

沿着某个方向 $\omega$ 入射到点 $p$ 上的辐射亮度为 $L_i(p, \omega)$ ，则该点在该方向 $\omega$ 上单位面积上接收到的辐照度为 $d E(p)$ 。

$d E(p, \omega) = L_i(p, \omega) \cdot \cos \theta \cdot d\omega \\$

则在所有方向上入射到点 $p$ 上的辐照度为：

$E(p) = \int_{H^2} L_i(p, \omega) \cdot \cos \theta \cdot d\omega$

BRDF 双向反射分布函数(Bidirectional Reflectance Distribution Function)

BRDF 描述了从某个方向入射到一个点上的光线的能量会怎么反射，在不同的反射方向上分布多少能量。

反射的理解：光线打到物体的某个位置上，吸收了能量，然后再发出一些能量出去。

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从 $\omega_i$ 方向入射的光线，打到了 P 点上，P 点有效单位面积上接收到的辐射功率（即辐照度 Irradiance）为：

$d E(\omega_i) = L(\omega_i) \cdot \cos \theta_i \cdot d\omega_i$

之后这部分被接收的能量会被 P 点吸收一部分，然后再沿着不同的方向反射出去。其中，沿着 $\omega_r$ 方向反射出去的辐射亮度（Radiance）为：

$d L_r(\omega_r)$

BRDF 定义

Bidirectional Reflectance Distribution Function (BRDF)
表达了对于每个入射光线方向 $\omega_i$ ，如何分配反射的比例到各个出射方向 $\omega_r$ 上

$f_r(\omega_i \rightarrow \omega_r) = \frac{d L_r(\omega_r)}{d E(\omega_i)} = \frac{d L_r(\omega_r)}{L(\omega_i) \cdot \cos \theta_i \cdot d\omega_i}$

BRDF 的单位是 $\frac{1}{sr}$ 。

通过 BRDF 可以统一漫反射和镜面反射，区别只是在不同方向上分配的比例不同。

BRDF 定义了物体不同的材质。

反射方程 Reflection Equation

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针对某个着色点 $p$ ，对所有入射方向上的光线进行积分，得到该点沿着某个出射方向 $\omega_r$ 的反射亮度：

$L_r(p, \omega_r) = \int_{H^2} f_r(p, \omega_i \rightarrow \omega_r) \cdot L_i(p, \omega_i) \cdot \cos \theta_i \cdot d\omega_i$

其中：

$L_r(p, \omega_r)$ ：点 $p$ 沿着方向 $\omega_r$ 的反射亮度
$f_r(p, \omega_i \rightarrow \omega_r)$ ：点 $p$ 的 BRDF
$L_i(p, \omega_i)$ ：点 $p$ 沿着方向 $\omega_i$ 的入射亮度
$\cos \theta_i$ ：入射方向与法线的夹角余弦
$d\omega_i$ ：入射方向的立体角微分

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挑战：入射光不止来自光源，还可能来自其他物体的反射光，这将会导致递归，计算量巨大

渲染方程 Rendering Equation

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渲染方程是在反射方程的基础上，加入了自发光项 $L_e(p, \omega_o)$ ，表示点 $p$ 沿着方向 $\omega_o$ 自发光的亮度，就可以得到渲染方程：

$L_o(p, \omega_o) = L_e(p, \omega_o) + \int_{\Omega} f_r(p, \omega_i \rightarrow \omega_o) \cdot L_i(p, \omega_i) \cdot (n \cdot \omega_i) \cdot d\omega_i$

PS: 这里假设了所有的方向都是朝向点向外的方向，即使入射光是向内发射，也要把它反过来，变成向外的方向。

$H^2$ , $\Omega$ 都表示半球面

这个方程来自 Kajiya 在 1986 年提出的论文 “The Rendering Equation”。论文链接论文标题很短（通常来说名字越短，事情越大）。渲染方程基本上是现代计算机图形学的基础。

渲染方程的理解

对于一个点光源

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对于单个点光源时，在着色点 $x$ 上沿着 $r$ 方向反射光线的亮度为：

$L_r(x, \omega_r) = L_e(x, \omega_r) + L_i(x, \omega_i) \cdot f(x, \omega_i, \omega_r) \cdot (\omega_i \cdot n)$

其中：

$L_r(x, \omega_r)$ ：点 $x$ 沿着方向 $\omega_r$ 的反射亮度
$L_e(x, \omega_r)$ ：点 $x$ 沿着方向 $\omega_r$ 的自发光亮度
$L_i(x, \omega_i)$ ：来自点光源的入射亮度
$f(x, \omega_i, \omega_r)$ ：点 $x$ 的 BRDF
$\omega_i \cdot n$ ：入射方向与法线的夹角余弦

对于多个点光源

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对于多个点光源时，在着色点 $x$ 上沿着 $r$ 方向反射光线的亮度是所有点光源贡献的总和：

$L_r(x, \omega_r) = L_e(x, \omega_r) + \sum L_i(x, \omega_i) \cdot f(x, \omega_i, \omega_r) \cdot (\omega_i \cdot n)$

对于面积光源

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面光源可以看作是由无数个点光源组成的。

故求和变成积分：

$L_r(x, \omega_r) = L_e(x, \omega_r) + \int L_i(x, \omega_i) \cdot f(x, \omega_i, \omega_r) \cdot (\omega_i \cdot n) d\omega_i$

考虑其他物体反射的光线

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$L_{r}\left(x, \omega_{r}\right)=L_{e}\left(x, \omega_{r}\right)+\int_{\Omega} L_{r}\left(x^{\prime},-\omega_{i}\right) f\left(x, \omega_{i}, \omega_{r}\right) \cos \theta_{i} d \omega_{i}$