斯涅耳定律推导

本推导将基于费马原理进行推导，费马原理表明：光总是沿着光程为极值（极大、极小或常量）的路径传播的。因此，费马原理也叫光程极端定律。

假设存在两种介质，光在两种介质1和介质2中折射率分别是$n_1,n_2$，光线的传播路径经过介质1中的Q点，介质交接的点O，介质2中的P点，其中$\theta_1,\theta_2$分别为入射角和折射角。
光线在两种介质中的传播速度分别为：

$\left\{ \begin{matrix} v_1=\frac{c}{n_1} \\ v_2=\frac{c}{n_2} \end{matrix} \right.$

其中$c$为真空中的光速。由于光在真空中传播的速度最快，故$n_1,n_2 \ge 1$
Q点是一个可动点，我们约束它在沿介质交接的竖直方向上可自由运动，并定义变量x。光程QOP经过的时间T为

$T=\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{v_1}+\frac{\sqrt{b^2+(l-x)^2}}{v_2}$

由费马原理，取T对x的导数，并令其为0

$\frac{dT}{dx}=\frac{x}{v_1\sqrt{x^2+a^2}}-\frac{l-x}{v_2\sqrt{(l-x)^2+b^2}}=\frac{sin(\theta_1)}{v_1}-\frac{sin(\theta_2)}{v_2}=0$

得到斯涅尔定律

$\frac{sin \space \theta_1}{sin \space \theta_2}=\frac{v1}{v2}=\frac{n_2}{n_1}$

即

$n_1 sin \space \theta_1=n_2 sin \space \theta_2$

参考文档：

1. 斯涅尔定律 wikipedia