图形学-光线追踪(辐射度量学)

背景

Radiometry（辐射度量学）是研究光的物理量的学科，主要关注光的能量和强度等方面。它与光线追踪密切相关，因为光线追踪需要模拟光的传播和交互。

它定义了光在空间中的各种物理量，根据这些物理量用正确的物理方式来计算光照。

Radiant energy 辐射能

Radiant energy 是电磁辐射的能力，单位是焦耳（J）。通常使用符号 $ Q [J = Joule]$ 来表示。

Radiant flux/power 辐射通量

Radiant flux 是单位时间内能量发射，反射，传播，接收的能量量。单位是瓦特（W）。通常使用符号 $ \Phi = \frac{dQ}{dt}[W = Watt = J/s]$ 来表示。对于光而言，通常使用 lumen（流明）来表示。

Angle & Solid Angles 角与立体角

Angle 角

角度：弧长和半径的比值。

$\theta = \frac{l}{r}$

整个圆的角度是$2\pi$。

Solid Angle 立体角

立体角：是角度在三维空间中的推广。它是一个球面上某个区域的面积与球半径平方的比值。

$\Omega = \frac{A}{r^2}$
整个球的立体角是$4\pi$。

Differential Solid Angle 微分/单位立体角

假设球面上有一个点$P$，球心为$O$，点$P$到球心的距离为$r$。

$\overrightarrow{OP}$与 z 轴的夹角为$\theta$, $P$点在 xy 平面上的投影为$P'$。

$|\overrightarrow{OP}| = r$，$|\overrightarrow{OP'}| = r \cdot \sin \theta$。

假设$P$点沿着$\theta$方向移动了一个微小的角度$d\theta$，沿着$\phi$方向移动了一个微小的角度$d\Phi$。

则面积变化为：

$dA = (r \cdot d \theta) \cdot (r \cdot \sin \theta \cdot d\phi) = r^2 \cdot \sin \theta \cdot d\theta \cdot d\phi$

因此，单位立体角为：

$d\omega = \frac{dA}{r^2} = \sin \theta \cdot d\theta \cdot d\phi$

从最终的单位立体角的计算公式可以看出，在靠近赤道和靠近极点的情况下，$d\theta$和$d\phi$的变化对单位立体角的影响是不同的。

在单位球中，

若点$P$在赤道附近，即$\theta$接近$\frac{\pi}{2}$，$sin \theta$接近 1。此时$d\omega$的值接近$d\theta \cdot d\phi$。

而在极点附近，即$\theta$接近 0 或$\pi$，$sin \theta$接近 0。此时$d\omega$的值接近 0。

整个球体的立体角为：

\begin{align*} \Omega &= \int_{S^2} d\omega \\ &= \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \sin \theta \, d\theta \, d\phi \\ &= 2\pi \int_0^{\pi} \sin \theta \, d\theta \\ &= 2\pi \left[ -\cos \theta \right]_0^{\pi} \\ &= 2\pi \left( -\cos \pi + \cos 0 \right) \\ &= 2\pi \left( -(-1) + 1 \right) \\ &= 2\pi \times 2 \\ &= 4\pi \end{align*}

这个$\overrightarrow{OP}$方向上的单位向量，通常用$\vec{\omega}$表示。

Radiant Intensity 辐射强度

Radiant intensity 是从点光源发射的在单位立体角上的辐射通量。单位是瓦特每立体角（W/sr）。通常使用符号 $ I = \frac{d \Phi}{d \omega}[\frac{W}{sr}=\frac{lm}{sr}=cd=candela]$ 来表示。

坎德拉（candela）是七个 SI 基本单位之一。

Isotropic Point Source 各向同性（均匀的）点光源的辐射强度

对于一个均匀点光源，辐射强度是恒定的。假设点光源的辐射通量为$\Phi$，则：

$I = \frac{\Phi}{\Omega} = \frac{\Phi}{4\pi}$

Irradiance 辐照度

单位面积垂直方向上的投影入射到一个表面上一个点的辐射通量。

单位是瓦特每平方米（W/m²）或者流明每平方米（lm/m²）或者勒克斯（lux）。

$E(\mathbf{x}) = \frac{d \Phi(\mathbf{x})}{d A} [\frac{W}{m^2}=\frac{lm}{m^2}=lux]$

Lambert’s Cosine Law 兰伯特余弦定律

表面上的辐照度与光线方向和法线方向的夹角的余弦成正比。

$E(\mathbf{x}) = \frac{\Phi(\mathbf{x})}{A} \cdot \cos \theta$

辐照度衰减公式

假设有一个各向同性的点光源的的辐射通量(功率)为$\Phi$, 比较如图的两个球面上的辐照度。

半径为 r 的球面上的辐照度计算公式如下：

$E(r)=\frac{\Phi}{A} \cdot \cos \theta = \frac{\Phi}{4\pi r^2} \cdot \cos \theta = \frac{\Phi}{4\pi r^2}=\frac{E(1)}{r^2}$

$\frac{E(r)}{E(1)} = \frac{1}{r^2}$

如此便可以推导出平方反比定律。

Radiance 辐射/ Luminance 亮度

指表面在每单位立体角上的每单位投影面积上所发射(emitted)、反射(reflected)、透射(transmitted)或接收(received)的辐射通量(功率)。

$L(p,\omega) = \frac{d^2 \Phi(p,\omega)}{d \omega \cdot d A \cdot \cos \theta} [\frac{W}{m^2 \cdot sr}=\frac{lm}{m^2 \cdot sr}=nit=cd/m^2]$

Recall:

• Irradiance 辐照度: 单位投影面积上的辐射功率
• Intensity 辐射强度: 单位立体角上的辐射功率

So:

• Radiance 辐射/亮度: 单位立体角上的辐照度或单位投影面积上的辐射功率，即

入射辐射

到达表面的单位立体角的辐照度。

$L(p,\omega) = \frac{dE(p)}{d\omega \cdot \cos \theta}$

出射辐射

离开表面的单位投影面积的辐射强度。

$L(p, \omega) = \frac{dI(p,\omega)}{dA \cdot \cos \theta}$

总结

物理量	符号	公式	单位
辐射能(Radiant energy)	$Q$	-	焦耳 $J$
辐射通量(Radiant flux) / 功率(power)	$\Phi$	$\frac{dQ}{dt}$	瓦特$W$/流明$lm$
角度(Angle)	$\theta$	$\frac{l}{r}$	弧度 rad
立体角(Solid angle)	$\Omega$	$\frac{A}{r^2}$	steradian $sr$
辐射强度(Radiant intensity)	$I$	$\frac{d\Phi}{d\omega}$	$\frac{W}{sr}$ / $\frac{lm}{sr}$ / 烛光 $cd$
辐照度(Irradiance)	$E$	$\frac{d\Phi}{dA}$	$\frac{W}{m^2}$ / $\frac{lm}{m^2}$ / 照度 $lux$
辐射(Radiance) / 亮度(Luminance)	$L$	$\frac{d^2\Phi}{dA \cdot d\omega \cdot \cos \theta }$	$\frac{W}{m^2 \cdot sr}$ / $\frac{lm}{m^2 \cdot sr}$ / 尼特 $nit$