《数学女孩2-费马大定理》阅读笔记 (下)

第 8 章 无穷递降法

8.1 费马大定理

当$n\ge 3 $时，以下方程式不存在自然数解：

$x^n + y^n = z^n$

费马大定理证明时间表：

年份	FLT(n)	证明人
1640	FLT(4)	由费马证明
1753	FLT(3)/FLT(6)	由欧拉证明
1825	FLT(5)	由狄利克雷和勒让德证明
1832	FLT(14)	由狄利克雷证明
1839	FLT(7)	由拉梅证明

其中欧拉证明了 FLT(3)其实也相当于把 FLT(6)也证明出来了。

在已经证明出来了 FLT(3)的前提下，证明 FLT(6)，使用反证法：

1. 假设方程$x^6 + y^6 = z^6$存在自然数解$(x,y,z)=(a,b,c)$
2. 则$a^6 + b^6 = c^6$，即$(a^2)^3 + (b^2)^3 = (c^2)^3$
3. 定义$(A,B,C)=(a^2,b^2,c^2)$，则$A^3 + B^3 = C^3$
4. 即$(x,y,z)=(A,B,C)$是方程$x^3 + y^3 = z^3$的自然数解
5. 则 FLT(3)不成立，与已知 FLT(3)成立相矛盾，故 FLT(6)成立。

实际上，当$n\ge 5$s\时，只需证明质数$p = 5,7,11,13,...$时候，FLT§成立即可用反证法推广到所有$n\ge 5$当所有情况。

8.2 泰朵拉的三角形

8.2.1 图书室

问题 8-1: 不存在三条边皆为自然数，面积为平方数的直角三角形

1. 假设原命题不成立，即存在三条边皆为自然数，面积为平方数的直角三角形。
2. 设三角形的三边长为$a,b,c$，根据勾股定理有$a^2 + b^2 = c^2$。
3. 为方便研究，需要将 a,b 转化为两个互质的数字，假设 a,b 的最大公约数为 g，则存在自然数$A,B$使得$a = gA, b = gB, A \perp B$。
4. 则$$a^2 + b^2 = c^2 \Leftrightarrow g^2A2 + g^2B2 = c^2 \Leftrightarrow g^2(A2 + B^2) = c^2$$c 时 g 的倍数，则存在整数 C 使得$c=gC$。
5. 则$$g^2(A2 + B^2) = c^2 \Leftrightarrow g^2(A2 + B^2) = g^2C2 \Leftrightarrow A^2 + B^2 = C^2$$
6. 可得出$A \perp B \perp C$
7. 面积是平方数，设 d 为某个自然数，则存在$\frac{ab}{2}=d^2$，即$g^2\frac{AB}{2}=d^2$，对于基本勾股数$(A,B,C)$，$A，B$存在一方为偶数，故$\frac{AB}{2}$是正整数，故 d 是 g 的倍数。即存在整数 D 使得$d=gD$。代入得$AB=2D^2$
8. 于是得到了一个新问题

问题 8-2: 不存在满足以下式子的自然数 A,B,C,D

$A^2 + B^2 = C^2 \\ AB = 2D^2 \\ A \perp B$

A, B, C 是一组基本勾股数，所以可以用 m, n 的形式来表示：

$A = m^2 - n^2 \\ B = 2mn \\ C = m^2 + n^2$

其中$m>n$, $m \perp n$, $m,n$奇偶性不一致。

将$D^2 = \frac{AB}{2}$用$m,n$表示，得

$D^2 = mn(m+n)(m-n)$

左侧为平方数，右侧为四个因子，其中$m,n$互质。

猜想：对于上述四个因子中任取两个因子是否两两互质？

证明 m+n, m-n 互质：

1. 假设 m+n, m-n 不互质，即存在质数 p 和自然数$J,K$使得$pJ=m+n,pK=m-n$
2. 通过消元可以得到$2m=p(J+K),2n=p(J-K)$
3. 由于 m,n 奇偶性不一致，故$m+n=pJ$一定是奇数，故$p \ne 2$
4. 故 $J+K,J-K$ 必为偶数，即存在自然数$x,y$使得$2x=J+K,2y=J-K$, 则$m=px, n=py$
5. 为了推翻 1 假设，需要证明不存在这样的质数 p，则还需要证明 $ p\ge 3$不可能成立
6. 假设 $ p \ge 3$成立, 则$m,n$包含公因数$p$, 这与$m\perp n$矛盾，故$p\ge 3$不成立
7. 故不存在这样的质数 p，与 1 假设矛盾，故 m+n, m-n 互质。

证明 m+n, m 互质:

1. 假设 m+n, m 不互质，即存在质数 p 和自然数 J，使得 pJ=m+n,pK=m 成立
2. 消元得$m=pK,n=p(J-K)$
3. m,n 是 p 的倍数，与$m \perp n$矛盾，故 m+n, m 互质

同理可证：其余任意两个因子组合均是两两互质的。

再次观察式子：

$D^2 = mn(m+n)(m-n)$

左边是平方数，故右边分解后也需要有偶数个重复的因子，但由由于右边的四个数字两两互质，所以每个因子之间无法进行组合出重复因子，故重复因子只能在这四个因子内部出现。换句话说，$m,n,m+n,m-n$ 这四个数字都是平方数。

8.3.2 原子和基本粒子的关系：用 e,f,s,t 表示

存在自然数 e,f,s,t 使得$(m,n,m+n,m-n)=(e^2,f^2,s^2,t^2)$，如果两个数对应的平方数互质，则这两个数也互质。所以 e,f,s,t 也两两互质。

通过消元可表示 m,n 为：

$2m=s^2+t^2=2e^2 \\ 2n=s^2-t^2=(s+t)(s-t)=2f^2$

调查 s,t 的奇偶性：

1. 由于 m,n 的奇偶性不一致，所以 m+n 是奇数，所以$s^2=m+n$是奇数，所以 s 是奇数
2. 同理$t^2=m-n$是奇数，所以 t 是奇数

调查 s,t 的互质性：

1. $m+n \perp m-n$, 即$s^2 \perp t^2$
2. $s \perp t$

由于$s,t$为奇数，故$s+t,s-t$为偶数，故$\frac{s+t}{2},\frac{s-t}{2}$为整数。

因此$2f^2=2 \cdot \frac{s+t}{2} \cdot 2 \cdot \frac{s-t}{2}$, 即$f^2=2 \cdot \frac{s+t}{2} \cdot \frac{s-t}{2}$,

由于$f^2$是平方数，故右侧的质因数 2 应当有偶数个，故剩下一个 2 需要分配给$\frac{s+t}{2}$或$\frac{s-t}{2}$中的一个，故$\frac{s+t}{2},\frac{s-t}{2}$中有一个偶数。

调查$\frac{s+t}{2},\frac{s-t}{2}$的互质性：

1. 假设$\frac{s+t}{2},\frac{s-t}{2}$互质，即存在质数 p 和自然数$J,K$使得$pJ=\frac{s+t}{2},pK=\frac{s-t}{2}$
2. 消元得$s=p(J+K), t=p(J-K)$
3. 由于$s,t$是 p 的倍数，与$s \perp t$矛盾，故$\frac{s+t}{2},\frac{s-t}{2}$互质。

由于$\frac{s+t}{2},\frac{s-t}{2}$互质且有一方是偶数，则另一方必定是奇数，否则就出现了公因数 2。

由于$f^2$是平方数，其中偶数那方必定可以写作$2u^2$, 奇数那方可写作$v^2$, u,v 是互质的自然数。

8.3.4 基本粒子与夸克的关系：用 u,v 表示 s,t

1. $(s+t)^2+(s-t)^2=2(s^2+t^2)$, $(\frac{s+t}{2})^2+(\frac{s-t}{2})^2=\frac{s^2+t^2}{2}$
2. $e^2=m=\frac{s^2+t^2}{2}=4u^4+v^4$, $v$是奇数，$u\perp v$

8.4.3 自动贩卖机

定义$(A_1,B_1,C_1)=(2u^2, v^2, e)$, 则有$A_1^2 + B_1^2 = C_1^2$成立。

证明：$A_1^2+B_1^2=C_1^2, A_1 B_1 = 2D_1^2, A_1 \perp B_1$也成立。

1. $A_1 B_1 = (2u^2)(v^2)=2(uv)^2$, 故当$D_1=uv$时，$A_1 B_1 = 2D_1^2$成立
2. 由于$u \perp v$且 v 为奇数，故$A_1 \perp B_1$

证明：$C_1 < C$

1. 由于$C=m^2+n^2$, 故$C > m$
2. 由于$m=e^2$, 故$m\ge e$
3. 由于$C_1=e$, 故$C>m\ge e = C_1$
4. 即证$C_1 < C$

同理可反复使用上述相同的步骤证明出$C>C_1>C_2>C_3>...>C_k>...$, 故可以推导出$C_k$可以无限缩小，但又由于存在最小的自然数 1, 不可能无限缩小，导出了矛盾，故最初的假设不成立，证明完毕。

8.5 米尔嘉的证明

8.5.2 米尔嘉

问题 8-3 证明 FLT(4)

1. 假设$x^4+y^4=z^4$存在自然数解，设解为$(x,y,z)=(a,b,c)$
2. 则解满足$a^4+b^4=c^4$
3. 定义$m=c^2,n=a^2,A=m^2+n^2,B=2mn,C=m^2-n^2$
4. 使用$a,b,c$来表示$A,B,C$, 则有$A=c^4-a^4,B=2c^2a^2,C=c^4+a^4$
5. 由于 a,b,c 是自然数，$c>a$，故 A,B,C 也是自然数
6. 计算可得$A^2+B^2=C^2$成立，则 A,B,C 可以构成直角三角形
7. 该三角形的面积计算可得面积为$(ab^2c)^2$
8. 这与先前证明的不存在三边为自然数，面积为平方数的直角三角形相矛盾
9. 假设不成立，则$x^4+y^4=z^4$不存在自然数解，$FLT(4)$证明完毕。

第 10 章 费马大定理

10.2 历史

10.2.1 问题

17 世纪的数学家费马，在他一直研究的《算术》这本书的空白处留下了一个问题，就是所谓的‘费马大定理’。

当 n ≥ 3 时，以下方程式不存在自然数解。

$x^n + y^n = z^n$

他以书面形式表达了和这个数学公式同样的内容，并在空白处写下了一句著名的话。

我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。

10.2.2 初等数论的时代

1. 最初费马自己证明了 FLT(4), 使用的工具是无穷递降法
2. 18 世纪，欧拉证明了 FLT(3)
3. 19 世纪，狄利克雷证明了 FLT(5)，勒让德补充了狄利克雷的证明。然而拉梅证明了 FLT(7) 以后，就后继无人了。
4. 当时人们使用的武器有倍数、约数、最大公约数、质数、互质，还有无穷递降法。

10.2.3 代数数论的时代

1: 19 世纪代数数论发展

• 1825 年：苏菲·姬曼针对费马大定理（FLT）提出定理——若奇质数 $p $ 和 $ 2p+1 $ 均为质数，则方程 $ x^p + y^p = z^p $ 无自然数解。此时$xyz \not\equiv 0 \pmod p$。
• 1847 年：拉梅与柯西尝试通过复数域的因式分解证明 FLT，核心思路是将 $ x^p + y^p $ 分解为环 $ \mathbb{Z}[\alpha] $（$ \alpha $ 为 $ p $ 次单位根）中的互质因子，并运用无穷递降法。但因环中不满足唯一分解定理，导致失败。

2: 库默尔的突破

• 库默尔指出唯一分解定理的缺失是拉梅和柯西失败的主因：即使因子互质，也不保证其为 $ p $ 次方数。
• 提出理想数概念（后由戴德金发展为“理想”），恢复质因数分解的唯一性，并证明 FLT 对正规质数成立。

3: 代数数论的影响与局限

• 理想数理论成为代数数论基石，被用于怀尔斯对 FLT 的证明，但单纯代数数论的扩展无法直接解决 FLT。
• 19 世纪末，FLT 仍未完全攻克，距费马提出猜想已逾 250 年。

10.2.4 几何数论时代

1: 20 世纪日本数学的里程碑
• 1955 年：二战后十年，日本举办数学国际会议，谷山-志村猜想诞生，提出椭圆曲线与**自守形式（模形式）**的深刻联系，成为数论领域的核心桥梁。

2: 谷山-志村猜想的意义与挑战
• 猜想内容：每一条椭圆曲线均对应一个特定模形式，揭示数论与几何的隐秘关联。
• 研究定位：虽被确立为数论重要课题，但其与费马大定理的直接关联未被立即察觉。

3: 弗赖的关键突破（1985 年）
• 反例构造：假设费马大定理不成立（即存在解 $ x^n + y^n = z^n $），弗赖构建了一个特殊椭圆曲线 $y^2 = x(x - a^n)(x + b^n) $。
• 矛盾揭示：该曲线无法满足谷山-志村猜想，将费马大定理的证明转化为对猜想的依赖，但未简化问题难度。

4: 怀尔斯的孤军奋战与最终胜利
• 秘密研究：1986-1993 年，怀尔斯在保密状态下独自研究，结合椭圆曲线、模形式及科利瓦金-弗莱切方法，逐步攻克猜想。
• 首次声明：1993 年宣布证明费马大定理，但漏洞暴露（欧拉系构造缺陷）。
• 修正完成：1994 年与学生泰勒合作，利用岩泽理论修补漏洞，彻底证明猜想，从而终结了费马大定理这一 358 年的难题。

10.3 怀尔斯的兴奋

10.3.1 搭乘时间机器

在 1986 年，现状背景如下：

谷山 - 志村猜想

• 【未证明】每一条椭圆曲线都可以对应一个模形式。
• 【已证明】当 k = 3, 4, 5, 7 时，不存在 x, y, z，满足方程 $x^k + y^k = z^k$。

弗赖曲线

• 【已证明】如果存在 p, x, y, z 满足方程 $x^p + y^p = z^p$（x, y, z 是自然数。p ≥ 3，p 为质数），那么也存在弗赖曲线。

弗赖曲线和椭圆函数的关系

• 【已证明】弗赖曲线是椭圆曲线的一种。

弗赖曲线和模形式的关系

• 【已证明】弗赖曲线不是模形式。

问题 10-1 上述背景中只需证明何种命题即可证明费马大定理？

1. 假设费马大定理不成立，即存在 n, x，y，z 满足方程 $x^n + y^n = z^n$，其中 n 为质数，n ≥ 3。
2. 将 n 可以质因数分解为 n=pm，其中 p 为质数，m 为正整数。故仅需找到 p,x,y,z 满足$x^p + y^p = z^p$即可，其中 p 为质数，p ≥ 3。
3. 满足弗赖曲线的定义，存在弗赖曲线
4. 弗赖曲线是椭圆曲线，弗赖曲线不是模形式，即存在非模形式的椭圆曲线
5. 这与“每一条椭圆曲线都可以对应一个模形式。”矛盾，故费马大定理成立

10.3.3 半稳定的椭圆曲线

怀尔斯定理：每一条半稳定的椭圆曲线都可以对应一个模形式。

弗赖曲线是半稳定的椭圆曲线，故存在不对应模形式的半稳定的椭圆曲线。

1. 假设费马大定理不成立，则可以做出弗赖曲线
2. 弗赖曲线是不存在模形式的半稳定的椭圆曲线
3. 即存在不对应模形式的半稳定的椭圆曲线
4. 根据怀尔斯定理，每一条半稳定的椭圆曲线都可以对应一个模形式。
5. 构成矛盾，故费马大定理成立

10.4 椭圆曲线的世界

10.4.1 什么是椭圆曲线

椭圆曲线指的是当$a,b,c$为有理数时，可用以下方程表示的曲线:

$y^2 = x^3 + ax + b + c$

（三次方程$x^3+ax^2+bx+c=0$没有重根）

这是有理数域$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线的定义。

如$y^2=x^3-x=x(x+1)(x-1)$，与 x 轴有三个交点，故满足椭圆曲线的条件。

10.4.2 从有理数域到有限域

在有限域$\mathbb{F}_p$，找一个满足椭圆曲线的方程的点

$y^2 \equiv x^3 - x \pmod p$

10.4.3 有限域$\mathbb{F}_2$

运算表如下：

+	0	1
0	0	1
1	1	0

*	0	1
0	0	0
1	0	1

x	y	$y^2+x=x^3$	等号成立性
0	0	$0^2+0=0^3$	成立
1	0	0^2 + 1 = 1^3	成立
0	1	1^2 + 0 = 0^3	不成立
1	1	1^2 + 1 = 1^3	不成立

故方程$y^2=x^3-x$在$\mathbb{F}_2$上有两个解$(0,0),(1,0)$。

在有理数域中$x^3-x=(x-0)(x-1)(x+1)$，在有限域$F_2$中，任意一个元素 x 加上单位元都可以得到它的逆元，而单位元的逆元还是单位元，故任意元素 x 加上单位元的逆元也等于元素 x 的逆元，故有限域$\mathbb{F}_2$中，$x+1=x-1$。

因此，有限域$\mathbb{F}_2$中的因式分解为$x^3-x=(x-0)(x-1)^2$，不满足三次方程不能有重根的条件。故$y^2=x^3-x$在有限域$\mathbb{F}_2$中，不构成椭圆曲线。

10.4.4 有限域$\mathbb{F}_3$