第 8 章 无穷递降法
8.1 费马大定理
当$n\ge 3 $时,以下方程式不存在自然数解:
x n + y n = z n x^n + y^n = z^n
x n + y n = z n
费马大定理证明时间表:
年份
FLT(n)
证明人
1640
FLT(4)
由费马证明
1753
FLT(3)/FLT(6)
由欧拉证明
1825
FLT(5)
由狄利克雷和勒让德证明
1832
FLT(14)
由狄利克雷证明
1839
FLT(7)
由拉梅证明
其中欧拉证明了 FLT(3)其实也相当于把 FLT(6)也证明出来了。
在已经证明出来了 FLT(3)的前提下,证明 FLT(6),使用反证法:
假设方程x 6 + y 6 = z 6 x^6 + y^6 = z^6 x 6 + y 6 = z 6 存在自然数解( x , y , z ) = ( a , b , c ) (x,y,z)=(a,b,c) ( x , y , z ) = ( a , b , c )
则a 6 + b 6 = c 6 a^6 + b^6 = c^6 a 6 + b 6 = c 6 ,即( a 2 ) 3 + ( b 2 ) 3 = ( c 2 ) 3 (a^2)^3 + (b^2)^3 = (c^2)^3 ( a 2 ) 3 + ( b 2 ) 3 = ( c 2 ) 3
定义( A , B , C ) = ( a 2 , b 2 , c 2 ) (A,B,C)=(a^2,b^2,c^2) ( A , B , C ) = ( a 2 , b 2 , c 2 ) ,则A 3 + B 3 = C 3 A^3 + B^3 = C^3 A 3 + B 3 = C 3
即( x , y , z ) = ( A , B , C ) (x,y,z)=(A,B,C) ( x , y , z ) = ( A , B , C ) 是方程x 3 + y 3 = z 3 x^3 + y^3 = z^3 x 3 + y 3 = z 3 的自然数解
则 FLT(3)不成立,与已知 FLT(3)成立相矛盾,故 FLT(6)成立。
实际上,当n ≥ 5 n\ge 5 n ≥ 5 s\时,只需证明质数p = 5 , 7 , 11 , 13 , . . . p = 5,7,11,13,... p = 5 , 7 , 1 1 , 1 3 , . . . 时候,FLT§成立即可用反证法推广到所有n ≥ 5 n\ge 5 n ≥ 5 当所有情况。
8.2 泰朵拉的三角形
8.2.1 图书室
问题 8-1: 不存在三条边皆为自然数,面积为平方数的直角三角形
假设原命题不成立,即存在三条边皆为自然数,面积为平方数的直角三角形。
设三角形的三边长为a , b , c a,b,c a , b , c ,根据勾股定理有a 2 + b 2 = c 2 a^2 + b^2 = c^2 a 2 + b 2 = c 2 。
为方便研究,需要将 a,b 转化为两个互质的数字,假设 a,b 的最大公约数为 g,则存在自然数A , B A,B A , B 使得a = g A , b = g B , A ⊥ B a = gA, b = gB, A \perp B a = g A , b = g B , A ⊥ B 。
则$$a^2 + b^2 = c^2 \Leftrightarrow g2A 2 + g2B 2 = c^2 \Leftrightarrow g2(A 2 + B^2) = c^2$$c 时 g 的倍数,则存在整数 C 使得c = g C c=gC c = g C 。
则$$g2(A 2 + B^2) = c^2 \Leftrightarrow g2(A 2 + B^2) = g2C 2 \Leftrightarrow A^2 + B^2 = C^2$$
可得出A ⊥ B ⊥ C A \perp B \perp C A ⊥ B ⊥ C
面积是平方数,设 d 为某个自然数,则存在a b 2 = d 2 \frac{ab}{2}=d^2 2 a b = d 2 ,即g 2 A B 2 = d 2 g^2\frac{AB}{2}=d^2 g 2 2 A B = d 2 ,对于基本勾股数( A , B , C ) (A,B,C) ( A , B , C ) ,A , B A,B A , B 存在一方为偶数,故A B 2 \frac{AB}{2} 2 A B 是正整数,故 d 是 g 的倍数。即存在整数 D 使得d = g D d=gD d = g D 。代入得A B = 2 D 2 AB=2D^2 A B = 2 D 2
于是得到了一个新问题
问题 8-2: 不存在满足以下式子的自然数 A,B,C,D
A 2 + B 2 = C 2 A B = 2 D 2 A ⊥ B A^2 + B^2 = C^2 \\
AB = 2D^2 \\
A \perp B
A 2 + B 2 = C 2 A B = 2 D 2 A ⊥ B
A, B, C 是一组基本勾股数,所以可以用 m, n 的形式来表示:
A = m 2 − n 2 B = 2 m n C = m 2 + n 2 A = m^2 - n^2 \\
B = 2mn \\
C = m^2 + n^2
A = m 2 − n 2 B = 2 m n C = m 2 + n 2
其中m > n m>n m > n , m ⊥ n m \perp n m ⊥ n , m , n m,n m , n 奇偶性不一致。
将D 2 = A B 2 D^2 = \frac{AB}{2} D 2 = 2 A B 用m , n m,n m , n 表示,得
D 2 = m n ( m + n ) ( m − n ) D^2 = mn(m+n)(m-n)
D 2 = m n ( m + n ) ( m − n )
左侧为平方数,右侧为四个因子,其中m , n m,n m , n 互质。
猜想:对于上述四个因子中任取两个因子是否两两互质?
证明 m+n, m-n 互质:
假设 m+n, m-n 不互质,即存在质数 p 和自然数J , K J,K J , K 使得p J = m + n , p K = m − n pJ=m+n,pK=m-n p J = m + n , p K = m − n
通过消元可以得到2 m = p ( J + K ) , 2 n = p ( J − K ) 2m=p(J+K),2n=p(J-K) 2 m = p ( J + K ) , 2 n = p ( J − K )
由于 m,n 奇偶性不一致,故m + n = p J m+n=pJ m + n = p J 一定是奇数,故p ≠ 2 p \ne 2 p = 2
故 J + K , J − K J+K,J-K J + K , J − K 必为偶数,即存在自然数x , y x,y x , y 使得2 x = J + K , 2 y = J − K 2x=J+K,2y=J-K 2 x = J + K , 2 y = J − K , 则m = p x , n = p y m=px, n=py m = p x , n = p y
为了推翻 1 假设,需要证明不存在这样的质数 p,则还需要证明 $ p\ge 3$不可能成立
假设 $ p \ge 3成 立 , 则 成立, 则 成 立 , 则 m,n包 含 公 因 数 包含公因数 包 含 公 因 数 p, 这 与 , 这与 , 这 与 m\perp n矛 盾 , 故 矛盾,故 矛 盾 , 故 p\ge 3$不成立
故不存在这样的质数 p,与 1 假设矛盾,故 m+n, m-n 互质。
证明 m+n, m 互质:
假设 m+n, m 不互质,即存在质数 p 和自然数 J,使得 pJ=m+n,pK=m 成立
消元得m = p K , n = p ( J − K ) m=pK,n=p(J-K) m = p K , n = p ( J − K )
m,n 是 p 的倍数,与m ⊥ n m \perp n m ⊥ n 矛盾,故 m+n, m 互质
同理可证:其余任意两个因子组合均是两两互质的。
再次观察式子:
D 2 = m n ( m + n ) ( m − n ) D^2 = mn(m+n)(m-n)
D 2 = m n ( m + n ) ( m − n )
左边是平方数,故右边分解后也需要有偶数个重复的因子,但由由于右边的四个数字两两互质,所以每个因子之间无法进行组合出重复因子,故重复因子只能在这四个因子内部出现。换句话说,m , n , m + n , m − n m,n,m+n,m-n m , n , m + n , m − n 这四个数字都是平方数。
8.3.2 原子和基本粒子的关系:用 e,f,s,t 表示
存在自然数 e,f,s,t 使得( m , n , m + n , m − n ) = ( e 2 , f 2 , s 2 , t 2 ) (m,n,m+n,m-n)=(e^2,f^2,s^2,t^2) ( m , n , m + n , m − n ) = ( e 2 , f 2 , s 2 , t 2 ) ,如果两个数对应的平方数互质,则这两个数也互质。所以 e,f,s,t 也两两互质。
通过消元可表示 m,n 为:
2 m = s 2 + t 2 = 2 e 2 2 n = s 2 − t 2 = ( s + t ) ( s − t ) = 2 f 2 2m=s^2+t^2=2e^2 \\
2n=s^2-t^2=(s+t)(s-t)=2f^2
2 m = s 2 + t 2 = 2 e 2 2 n = s 2 − t 2 = ( s + t ) ( s − t ) = 2 f 2
调查 s,t 的奇偶性:
由于 m,n 的奇偶性不一致,所以 m+n 是奇数,所以s 2 = m + n s^2=m+n s 2 = m + n 是奇数,所以 s 是奇数
同理t 2 = m − n t^2=m-n t 2 = m − n 是奇数,所以 t 是奇数
调查 s,t 的互质性:
m + n ⊥ m − n m+n \perp m-n m + n ⊥ m − n , 即s 2 ⊥ t 2 s^2 \perp t^2 s 2 ⊥ t 2
s ⊥ t s \perp t s ⊥ t
由于s , t s,t s , t 为奇数,故s + t , s − t s+t,s-t s + t , s − t 为偶数,故s + t 2 , s − t 2 \frac{s+t}{2},\frac{s-t}{2} 2 s + t , 2 s − t 为整数。
因此2 f 2 = 2 ⋅ s + t 2 ⋅ 2 ⋅ s − t 2 2f^2=2 \cdot \frac{s+t}{2} \cdot 2 \cdot \frac{s-t}{2} 2 f 2 = 2 ⋅ 2 s + t ⋅ 2 ⋅ 2 s − t , 即f 2 = 2 ⋅ s + t 2 ⋅ s − t 2 f^2=2 \cdot \frac{s+t}{2} \cdot \frac{s-t}{2} f 2 = 2 ⋅ 2 s + t ⋅ 2 s − t ,
由于f 2 f^2 f 2 是平方数,故右侧的质因数 2 应当有偶数个,故剩下一个 2 需要分配给s + t 2 \frac{s+t}{2} 2 s + t 或s − t 2 \frac{s-t}{2} 2 s − t 中的一个,故s + t 2 , s − t 2 \frac{s+t}{2},\frac{s-t}{2} 2 s + t , 2 s − t 中有一个偶数。
调查s + t 2 , s − t 2 \frac{s+t}{2},\frac{s-t}{2} 2 s + t , 2 s − t 的互质性:
假设s + t 2 , s − t 2 \frac{s+t}{2},\frac{s-t}{2} 2 s + t , 2 s − t 互质,即存在质数 p 和自然数J , K J,K J , K 使得p J = s + t 2 , p K = s − t 2 pJ=\frac{s+t}{2},pK=\frac{s-t}{2} p J = 2 s + t , p K = 2 s − t
消元得s = p ( J + K ) , t = p ( J − K ) s=p(J+K), t=p(J-K) s = p ( J + K ) , t = p ( J − K )
由于s , t s,t s , t 是 p 的倍数,与s ⊥ t s \perp t s ⊥ t 矛盾,故s + t 2 , s − t 2 \frac{s+t}{2},\frac{s-t}{2} 2 s + t , 2 s − t 互质。
由于s + t 2 , s − t 2 \frac{s+t}{2},\frac{s-t}{2} 2 s + t , 2 s − t 互质且有一方是偶数,则另一方必定是奇数,否则就出现了公因数 2。
由于f 2 f^2 f 2 是平方数,其中偶数那方必定可以写作2 u 2 2u^2 2 u 2 , 奇数那方可写作v 2 v^2 v 2 , u,v 是互质的自然数。
8.3.4 基本粒子与夸克的关系:用 u,v 表示 s,t
( s + t ) 2 + ( s − t ) 2 = 2 ( s 2 + t 2 ) (s+t)^2+(s-t)^2=2(s^2+t^2) ( s + t ) 2 + ( s − t ) 2 = 2 ( s 2 + t 2 ) , ( s + t 2 ) 2 + ( s − t 2 ) 2 = s 2 + t 2 2 (\frac{s+t}{2})^2+(\frac{s-t}{2})^2=\frac{s^2+t^2}{2} ( 2 s + t ) 2 + ( 2 s − t ) 2 = 2 s 2 + t 2
e 2 = m = s 2 + t 2 2 = 4 u 4 + v 4 e^2=m=\frac{s^2+t^2}{2}=4u^4+v^4 e 2 = m = 2 s 2 + t 2 = 4 u 4 + v 4 , v v v 是奇数,u ⊥ v u\perp v u ⊥ v
8.4.3 自动贩卖机
定义( A 1 , B 1 , C 1 ) = ( 2 u 2 , v 2 , e ) (A_1,B_1,C_1)=(2u^2, v^2, e) ( A 1 , B 1 , C 1 ) = ( 2 u 2 , v 2 , e ) , 则有A 1 2 + B 1 2 = C 1 2 A_1^2 + B_1^2 = C_1^2 A 1 2 + B 1 2 = C 1 2 成立。
证明:A 1 2 + B 1 2 = C 1 2 , A 1 B 1 = 2 D 1 2 , A 1 ⊥ B 1 A_1^2+B_1^2=C_1^2, A_1 B_1 = 2D_1^2, A_1 \perp B_1 A 1 2 + B 1 2 = C 1 2 , A 1 B 1 = 2 D 1 2 , A 1 ⊥ B 1 也成立。
A 1 B 1 = ( 2 u 2 ) ( v 2 ) = 2 ( u v ) 2 A_1 B_1 = (2u^2)(v^2)=2(uv)^2 A 1 B 1 = ( 2 u 2 ) ( v 2 ) = 2 ( u v ) 2 , 故当D 1 = u v D_1=uv D 1 = u v 时,A 1 B 1 = 2 D 1 2 A_1 B_1 = 2D_1^2 A 1 B 1 = 2 D 1 2 成立
由于u ⊥ v u \perp v u ⊥ v 且 v 为奇数,故A 1 ⊥ B 1 A_1 \perp B_1 A 1 ⊥ B 1
证明:C 1 < C C_1 < C C 1 < C
由于C = m 2 + n 2 C=m^2+n^2 C = m 2 + n 2 , 故C > m C > m C > m
由于m = e 2 m=e^2 m = e 2 , 故m ≥ e m\ge e m ≥ e
由于C 1 = e C_1=e C 1 = e , 故C > m ≥ e = C 1 C>m\ge e = C_1 C > m ≥ e = C 1
即证C 1 < C C_1 < C C 1 < C
同理可反复使用上述相同的步骤证明出C > C 1 > C 2 > C 3 > . . . > C k > . . . C>C_1>C_2>C_3>...>C_k>... C > C 1 > C 2 > C 3 > . . . > C k > . . . , 故可以推导出C k C_k C k 可以无限缩小,但又由于存在最小的自然数 1, 不可能无限缩小,导出了矛盾,故最初的假设不成立,证明完毕。
8.5 米尔嘉的证明
8.5.2 米尔嘉
问题 8-3 证明 FLT(4)
假设x 4 + y 4 = z 4 x^4+y^4=z^4 x 4 + y 4 = z 4 存在自然数解,设解为( x , y , z ) = ( a , b , c ) (x,y,z)=(a,b,c) ( x , y , z ) = ( a , b , c )
则解满足a 4 + b 4 = c 4 a^4+b^4=c^4 a 4 + b 4 = c 4
定义m = c 2 , n = a 2 , A = m 2 + n 2 , B = 2 m n , C = m 2 − n 2 m=c^2,n=a^2,A=m^2+n^2,B=2mn,C=m^2-n^2 m = c 2 , n = a 2 , A = m 2 + n 2 , B = 2 m n , C = m 2 − n 2
使用a , b , c a,b,c a , b , c 来表示A , B , C A,B,C A , B , C , 则有A = c 4 − a 4 , B = 2 c 2 a 2 , C = c 4 + a 4 A=c^4-a^4,B=2c^2a^2,C=c^4+a^4 A = c 4 − a 4 , B = 2 c 2 a 2 , C = c 4 + a 4
由于 a,b,c 是自然数,c > a c>a c > a ,故 A,B,C 也是自然数
计算可得A 2 + B 2 = C 2 A^2+B^2=C^2 A 2 + B 2 = C 2 成立,则 A,B,C 可以构成直角三角形
该三角形的面积计算可得面积为( a b 2 c ) 2 (ab^2c)^2 ( a b 2 c ) 2
这与先前证明的不存在三边为自然数,面积为平方数的直角三角形相矛盾
假设不成立,则x 4 + y 4 = z 4 x^4+y^4=z^4 x 4 + y 4 = z 4 不存在自然数解,F L T ( 4 ) FLT(4) F L T ( 4 ) 证明完毕。
第 10 章 费马大定理
10.2 历史
10.2.1 问题
17 世纪的数学家费马,在他一直研究的《算术》这本书的空白处留下了一个问题,就是所谓的‘费马大定理’。
当 n ≥ 3 时,以下方程式不存在自然数解。
x n + y n = z n x^n + y^n = z^n
x n + y n = z n
他以书面形式表达了和这个数学公式同样的内容,并在空白处写下了一句著名的话。
我确信已发现了一种美妙的证法,可惜这里空白的地方太小,写不下。
10.2.2 初等数论的时代
最初费马自己证明了 FLT(4), 使用的工具是无穷递降法
18 世纪,欧拉证明了 FLT(3)
19 世纪,狄利克雷证明了 FLT(5),勒让德补充了狄利克雷的证明。然而拉梅证明了 FLT(7) 以后,就后继无人了。
当时人们使用的武器有倍数、约数、最大公约数、质数、互质,还有无穷递降法。
10.2.3 代数数论的时代
1: 19 世纪代数数论发展
1825 年:苏菲·姬曼针对费马大定理(FLT)提出定理——若奇质数 $p $ 和 $ 2p+1 $ 均为质数,则方程 $ x^p + y^p = z^p $ 无自然数解。此时x y z ≢ 0 ( m o d p ) xyz \not\equiv 0 \pmod p x y z ≡ 0 ( m o d p ) 。
1847 年:拉梅与柯西尝试通过复数域的因式分解证明 FLT,核心思路是将 $ x^p + y^p $ 分解为环 $ \mathbb{Z}[\alpha] ( ( ( \alpha $ 为 $ p $ 次单位根)中的互质因子,并运用无穷递降法。但因环中不满足唯一分解定理 ,导致失败。
2: 库默尔的突破
库默尔指出唯一分解定理的缺失是拉梅和柯西失败的主因:即使因子互质,也不保证其为 $ p $ 次方数。
提出理想数 概念(后由戴德金发展为“理想”),恢复质因数分解的唯一性,并证明 FLT 对正规质数 成立。
3: 代数数论的影响与局限
理想数理论成为代数数论基石,被用于怀尔斯对 FLT 的证明,但单纯代数数论的扩展无法直接解决 FLT。
19 世纪末,FLT 仍未完全攻克,距费马提出猜想已逾 250 年。
10.2.4 几何数论时代
1: 20 世纪日本数学的里程碑
• 1955 年 :二战后十年,日本举办数学国际会议,谷山-志村猜想 诞生,提出椭圆曲线 与**自守形式(模形式)**的深刻联系,成为数论领域的核心桥梁。
2: 谷山-志村猜想的意义与挑战
• 猜想内容 :每一条椭圆曲线均对应一个特定模形式,揭示数论与几何的隐秘关联。
• 研究定位 :虽被确立为数论重要课题,但其与费马大定理的直接关联未被立即察觉。
3: 弗赖的关键突破(1985 年)
• 反例构造 :假设费马大定理不成立(即存在解 $ x^n + y^n = z^n $),弗赖构建了一个特殊椭圆曲线 $y^2 = x(x - a^n)(x + b^n) $。
• 矛盾揭示 :该曲线无法满足谷山-志村猜想,将费马大定理的证明转化为对猜想的依赖,但未简化问题难度。
4: 怀尔斯的孤军奋战与最终胜利
• 秘密研究 :1986-1993 年,怀尔斯在保密状态下独自研究,结合椭圆曲线、模形式及科利瓦金-弗莱切方法,逐步攻克猜想。
• 首次声明 :1993 年宣布证明费马大定理,但漏洞暴露(欧拉系构造缺陷 )。
• 修正完成 :1994 年与学生泰勒合作,利用岩泽理论修补漏洞,彻底证明猜想,从而终结了费马大定理这一 358 年的难题。
10.3 怀尔斯的兴奋
10.3.1 搭乘时间机器
在 1986 年,现状背景如下:
谷山 - 志村猜想
【未证明】每一条椭圆曲线都可以对应一个模形式。
【已证明】当 k = 3, 4, 5, 7 时,不存在 x, y, z,满足方程 x k + y k = z k x^k + y^k = z^k x k + y k = z k 。
弗赖曲线
【已证明】如果存在 p, x, y, z 满足方程 x p + y p = z p x^p + y^p = z^p x p + y p = z p (x, y, z 是自然数。p ≥ 3,p 为质数),那么也存在弗赖曲线。
弗赖曲线和椭圆函数的关系
弗赖曲线和模形式的关系
问题 10-1 上述背景中只需证明何种命题即可证明费马大定理?
假设费马大定理不成立,即存在 n, x,y,z 满足方程 x n + y n = z n x^n + y^n = z^n x n + y n = z n ,其中 n 为质数,n ≥ 3。
将 n 可以质因数分解为 n=pm,其中 p 为质数,m 为正整数。故仅需找到 p,x,y,z 满足x p + y p = z p x^p + y^p = z^p x p + y p = z p 即可,其中 p 为质数,p ≥ 3。
满足弗赖曲线的定义,存在弗赖曲线
弗赖曲线是椭圆曲线,弗赖曲线不是模形式,即存在非模形式的椭圆曲线
这与“每一条椭圆曲线都可以对应一个模形式。”矛盾,故费马大定理成立
10.3.3 半稳定的椭圆曲线
怀尔斯定理:每一条半稳定的椭圆曲线都可以对应一个模形式。
弗赖曲线是半稳定的椭圆曲线,故存在不对应模形式的半稳定的椭圆曲线。
假设费马大定理不成立,则可以做出弗赖曲线
弗赖曲线是不存在模形式的半稳定的椭圆曲线
即存在不对应模形式的半稳定的椭圆曲线
根据怀尔斯定理,每一条半稳定的椭圆曲线都可以对应一个模形式。
构成矛盾,故费马大定理成立
10.4 椭圆曲线的世界
10.4.1 什么是椭圆曲线
椭圆曲线指的是当a , b , c a,b,c a , b , c 为有理数时,可用以下方程表示的曲线:
y 2 = x 3 + a x + b + c y^2 = x^3 + ax + b + c
y 2 = x 3 + a x + b + c
(三次方程x 3 + a x 2 + b x + c = 0 x^3+ax^2+bx+c=0 x 3 + a x 2 + b x + c = 0 没有重根)
这是有理数域Q \mathbb{Q} Q 上的椭圆曲线的定义。
如y 2 = x 3 − x = x ( x + 1 ) ( x − 1 ) y^2=x^3-x=x(x+1)(x-1) y 2 = x 3 − x = x ( x + 1 ) ( x − 1 ) ,与 x 轴有三个交点,故满足椭圆曲线的条件。
10.4.2 从有理数域到有限域
在有限域F p \mathbb{F}_p F p ,找一个满足椭圆曲线的方程的点
y 2 ≡ x 3 − x ( m o d p ) y^2 \equiv x^3 - x \pmod p
y 2 ≡ x 3 − x ( m o d p )
10.4.3 有限域F 2 \mathbb{F}_2 F 2
运算表如下:
x
y
y 2 + x = x 3 y^2+x=x^3 y 2 + x = x 3
等号成立性
0
0
0 2 + 0 = 0 3 0^2+0=0^3 0 2 + 0 = 0 3
成立
1
0
0^2 + 1 = 1^3
成立
0
1
1^2 + 0 = 0^3
不成立
1
1
1^2 + 1 = 1^3
不成立
故方程y 2 = x 3 − x y^2=x^3-x y 2 = x 3 − x 在F 2 \mathbb{F}_2 F 2 上有两个解( 0 , 0 ) , ( 1 , 0 ) (0,0),(1,0) ( 0 , 0 ) , ( 1 , 0 ) 。
在有理数域中x 3 − x = ( x − 0 ) ( x − 1 ) ( x + 1 ) x^3-x=(x-0)(x-1)(x+1) x 3 − x = ( x − 0 ) ( x − 1 ) ( x + 1 ) ,在有限域F 2 F_2 F 2 中,任意一个元素 x 加上单位元都可以得到它的逆元,而单位元的逆元还是单位元,故任意元素 x 加上单位元的逆元也等于元素 x 的逆元,故有限域F 2 \mathbb{F}_2 F 2 中,x + 1 = x − 1 x+1=x-1 x + 1 = x − 1 。
因此,有限域F 2 \mathbb{F}_2 F 2 中的因式分解为x 3 − x = ( x − 0 ) ( x − 1 ) 2 x^3-x=(x-0)(x-1)^2 x 3 − x = ( x − 0 ) ( x − 1 ) 2 ,不满足三次方程不能有重根的条件。故y 2 = x 3 − x y^2=x^3-x y 2 = x 3 − x 在有限域F 2 \mathbb{F}_2 F 2 中,不构成椭圆曲线。
10.4.4 有限域F 3 \mathbb{F}_3 F 3
加法运算表
+
0
1
2
0
0
1
2
1
1
2
0
2
2
0
1
乘法运算表
*
0
1
2
0
0
0
0
1
0
1
2
2
0
2
1
方程验算表
(x,y)
y2+x=x 3
等号成立性
(0,0)
02+0=0 3
成立
(1,0)
12+0=0 3
成立
(2,0)
22+0=0 3
成立
(0,1)
02+1=1 3
不成立
(1,1)
12+1=1 3
不成立
(2,1)
22+1=1 3
不成立
(0,2)
02+2=2 3
不成立
(1,2)
12+2=2 3
不成立
(2,2)
22+2=2 3
不成立
满足椭圆曲线条件的点有:(0,0),(1,0),(2,0),故有限域F 3 \mathbb{F}_3 F 3 中的因式分解为x 3 − x = ( x − 0 ) ( x − 1 ) ( x − 2 ) x^3-x=(x-0)(x-1)(x-2) x 3 − x = ( x − 0 ) ( x − 1 ) ( x − 2 ) ,满足三次方程不能有重根的条件。故y 2 = x 3 − x y^2=x^3-x y 2 = x 3 − x 在有限域F 3 \mathbb{F}_3 F 3 中,构成椭圆曲线。
将有理数域上的椭圆曲线映射到有限域中叫做规约。如果在质数 p 上规约的椭圆曲线不会产生重根,叫做于p有好的规约
。如果产生了重根,叫做于p有坏的规约
。椭圆曲线y 2 = x 3 − x y^2=x^3-x y 2 = x 3 − x 于 2 有坏的规约,于 3 有好的规约。
坏的规约还可以进一步细分,如果重根停留在了二重根,称椭圆曲线于p有乘法规约
,如果有三重根,称为于p有加法规约
。
对于好的规约
和乘法规约
这两种情况时,称这条椭圆曲线为半稳定的椭圆曲线。
这就是怀尔斯定理中的“每一条半稳定的椭圆曲线都可以对应一个模形式。”中半稳定
的定义。
半稳定的椭圆曲线指的是,不管对于任意质数的规约,有重根都只会停留在二重根的椭圆曲线。
10.4.5 有限域F 5 \mathbb{F}_5 F 5
加法运算表
+
0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
1
1
2
3
4
0
2
2
3
4
0
1
3
3
4
0
1
2
4
4
0
1
2
3
乘法运算表
*
0
1
2
3
4
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
2
0
2
4
1
3
3
0
3
1
4
2
4
0
4
3
2
1
方程验算表
(x,y)
y2+x=x 3
等号成立性
(0,0)
02+0=0 3
成立
(1,0)
02+1=1 3
成立
(2,0)
02+2=2 3
不成立
(3,0)
02+3=3 3
不成立
(4,0)
02+4=4 3
成立
(0,1)
12+0=0 3
不成立
(1,1)
12+1=1 3
不成立
(2,1)
12+2=2 3
成立
(3,1)
12+3=3 3
不成立
(4,1)
12+4=4 3
不成立
(0,2)
22+0=0 3
不成立
(1,2)
22+1=1 3
不成立
(2,2)
22+2=2 3
不成立
(3,2)
22+3=3 3
成立
(4,2)
22+4=4 3
不成立
(0,3)
32+0=0 3
不成立
(1,3)
32+1=1 3
不成立
(2,3)
32+2=2 3
不成立
(3,3)
32+3=3 3
成立
(4,3)
32+4=4 3
不成立
(0,4)
42+0=0 3
不成立
(1,4)
42+1=1 3
不成立
(2,4)
42+2=2 3
成立
(3,4)
42+3=3 3
不成立
(4,4)
42+4=4 3
不成立
方程一共有 7 个解,分别为 [(0, 0), (1, 0), (4, 0), (2, 1), (3, 2), (3, 3), (2, 4)]
上述表格是使用以下 Python 代码生成:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 modulus = 5 def add (x: int , y: int ): return (x + y) % modulus def mul (x: int , y: int ): return (x * y) % modulus print ('加法运算表' )def printAddTable (): print ('|+|' , end="" ) for i in range (modulus): print (f'{i} |' , end="" ) print () print ("|-|" , end="" ) for i in range (modulus): print (f'-|' , end="" ) print () for i in range (modulus): print (f'|{i} |' , end="" ) for j in range (modulus): print (add(i, j), end="|" ) print () printAddTable() print ('\n\n乘法运算表' )def printMulTable (): print ('|*|' , end="" ) for i in range (modulus): print (f'{i} |' , end="" ) print () print ("|-|" , end="" ) for i in range (modulus): print (f'-|' , end="" ) print () for i in range (modulus): print (f'|{i} |' , end="" ) for j in range (modulus): print (mul(i, j), end="|" ) print () printMulTable() print ('\n\n方程验算表' )def printEquationTable (): solved = [] print ('|(x,y)|y^2+x=x^3|等号成立性|' ) print ("|-|-|-|" ) for y in range (modulus): for x in range (modulus): left = add(mul(y, y), x) right = mul(mul(x, x), x) eq = left == right if eq: solved.append((x, y)) print (f'|({x} ,{y} )|{y} ^2+{x} ={x} ^3|{"成立" if eq else "不成立" } |' ) print (f'\n方程一共有{len (solved)} 个解,分别为 {solved} ' ) printEquationTable()
10.4.5 点的个数
定义函数s ( p ) s(p) s ( p ) 表示方程y 2 = x 3 − x y^2=x^3-x y 2 = x 3 − x 在有限域F p \mathbb{F}_p F p 中的点个数,即
s ( p ) = { ( x , y ) ∣ y 2 + x = x 3 − x , x , y ∈ F p } s(p)=\{(x,y)\mid y^2+x=x^3-x,x,y\in\mathbb{F}_p\}
s ( p ) = { ( x , y ) ∣ y 2 + x = x 3 − x , x , y ∈ F p }
编写代码自动化求解:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 def s (p: int ) -> int : def add (x: int , y: int ): return (x + y) % p def mul (x: int , y: int ): return (x * y) % p def s () -> int : solved = 0 for y in range (p): for x in range (p): left = add(mul(y, y), x) right = mul(mul(x, x), x) eq = left == right if eq: solved += 1 return solved return s() def prime_list (n: int ) -> list [int ]: primes = [] for i in range (2 , n + 1 ): for j in range (2 , i): if i % j == 0 : break else : primes.append(i) return primes def main (): primes = prime_list(23 ) print ('|p|s(p)|' ) print ('|-|-|' ) for p in primes: print (f'|{p} |{s(p)} |' ) main()
p
s§
2
2
3
3
5
7
7
7
11
11
13
7
17
15
19
19
23
23
10.5 自守形式的世界
下面这个函数有一个非常有意思的性质:
ϕ ( z ) = e 2 π i z ∏ _ k = 1 ∞ ( 1 − e 8 k π i z ) 2 ( 1 − e 16 k π i z ) 2
\phi(z) = e^{2\pi i z} \prod\_{k=1}^\infty (1-e^{8k \pi i z})^2 (1-e^{16k \pi i z})^2
ϕ ( z ) = e 2 π i z ∏ _ k = 1 ∞ ( 1 − e 8 k π i z ) 2 ( 1 − e 1 6 k π i z ) 2
ϕ ( z ) \phi(z) ϕ ( z ) 是自守形式的一种。
设a , b , c , d a,b,c,d a , b , c , d 是整数且满足a d − b c = 1 ad-bc=1 a d − b c = 1 , c 是 32 的倍数,根据z = u + i v z=u+i v z = u + i v ,可以得到以下等式成立:
ϕ ( a z + b c z + d ) = ( c z + d ) 2 ϕ ( z )
\phi(\frac{az+b}{cz+d})=(cz+d)^2 \phi(z)
ϕ ( c z + d a z + b ) = ( c z + d ) 2 ϕ ( z )
从上述等式可以看出,即使发生了z → a z + b c z + d z \rightarrow \frac{az+b}{cz+d} z → c z + d a z + b 的变换,也保持了原有的形式,不过出现了一个系数( c z + d ) 2 (cz+d)^2 ( c z + d ) 2 的偏差,系数的指数 2 称为权,故ϕ ( z ) \phi(z) ϕ ( z ) 称为权为 2 的自守形式.
10.5.2 q 展开
定义
q = e 2 π i z
q=e^{2\pi i z}
q = e 2 π i z
则有
ϕ ( z ) = q ∏ _ k = 1 ∞ ( 1 − q 4 k ) 2 ( 1 − q 8 k ) 2
\phi(z)=q \prod\_{k=1}^\infty (1-q^{4k})^2 (1-q^{8k})^2
ϕ ( z ) = q ∏ _ k = 1 ∞ ( 1 − q 4 k ) 2 ( 1 − q 8 k ) 2
则可以定义出新函数
F ( q ) = q ∏ _ k = 1 ∞ ( 1 − q 4 k ) 2 ( 1 − q 8 k ) 2
F(q) = q \prod\_{k=1}^\infty (1-q^{4k})^2 (1-q^{8k})^2
F ( q ) = q ∏ _ k = 1 ∞ ( 1 − q 4 k ) 2 ( 1 − q 8 k ) 2
函数 F(q)的全体为积的形式,现在需要将 F(q) 展开为和的形式。
使用 sympy 符号计算可以快速展开,
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 from sympy import symbolsq = symbols('q' ) def expand_F (N ): k_max_4 = N // 4 k_max_8 = N // 8 product1 = 1 for k in range (1 , k_max_4 + 1 ): product1 *= (1 - q**(4 *k))**2 product2 = 1 for k in range (1 , k_max_8 + 1 ): product2 *= (1 - q**(8 *k))**2 F = q * product1 * product2 F_series = F.series(q, 0 , N + 1 ).removeO() return F_series result = expand_F(30 ) print (result)
F ( q ) = 1 q − 2 q 5 − 3 q 9 + 6 q 13 + 2 q 17 − 1 q 25 − 10 q 29 + . . . F(q)=1q-2q^5-3q^9+6q^{13}+2q^{17}-1q^{25}-10q^{29}+...
F ( q ) = 1 q − 2 q 5 − 3 q 9 + 6 q 1 3 + 2 q 1 7 − 1 q 2 5 − 1 0 q 2 9 + . . .
对于每一个 q 的指数 k,均有唯一的系数与其对应,即可以将系数记为函数a ( k ) a(k) a ( k ) ,则
k
a(k)
1
1
5
-1
9
-3
13
6
17
2
25
-1
29
-10
…
…
10.6 谷山——志村定理
将数列s(p)
和数列a(k)
总结成表格形式:
p
s§
a§
2
2
0
3
3
0
5
7
-2
6
7
0
11
11
0
13
7
6
17
15
2
19
19
0
23
23
0
观察表格,可以发现
s ( p ) + a ( p ) = p s(p)+a(p)=p
s ( p ) + a ( p ) = p
椭圆曲线和自守形式的来源完全不同,但他们的深处有着联系。对于所有的椭圆曲线都有这这样的对应关系,这就是谷山——志村定理。连接这两个世界的桥梁,是用 Zeta 构成的。
10.6.2 弗赖曲线
假设费马大定理不成立,则可以构成某条椭圆曲线,这条曲线叫做弗赖曲线。
假设费马大定理不成立,则存在三个两两互质的自然数 a,b,c 和>=3 的质数 p,满足a p + b p = c p a^p+b^p=c^p a p + b p = c p 。
则$y2=x(x+a p)(x-b^p)称为弗赖曲线。
10.6.3 半稳定
接下来确认弗赖曲线是半稳定的,为了避免于弗赖曲线中的 p 搞混,换一个字母 l 用于表示规约的质数。
假设弗赖曲线不是半稳定的,则在有限域F l \mathbb{F}_l F l 中,x ( x + a p ) ( x − b p ) = 0 x(x+a^p)(x-b^p)=0 x ( x + a p ) ( x − b p ) = 0 会出现三重根x = 0 , x = − a p , x = b p x=0,x=-a^p,x=b^p x = 0 , x = − a p , x = b p 。
这三个解以质数l l l 为模同余,即这三个解都是l l l 的倍数。
由于a ⊥ b a\perp b a ⊥ b ,故 a,b 没有公因数,故− a p , b p -a^p,b^p − a p , b p 不是l l l 的倍数,这与 2 相矛盾.
故y 2 = x ( x + a p ) ( x − b p ) y^2=x(x+a^p)(x-b^p) y 2 = x ( x + a p ) ( x − b p ) 是半稳定的椭圆曲线。
总结
怀尔斯证明了每一条半稳定的椭圆曲线都可以对应一个模形式
定理。
模形式指椭圆曲线与自守形式中的一种形式——模形式相对应
。
自守形式定义了一个叫做 level 的数,根据赛尔和黎贝的研究,弗赖曲线与权为2,level为2的自守形式
相对应。
根据自守形式理论,不存在权为2, level为3的自守形式
。
产生了矛盾,故只能是最初的费马大定理不成立
的假设是错的。