吉他自然泛音点计算

设吉他的某弦的最大发声弦长为$L$，设$0$品的发声频率为$a$，第$x$品的发声频率为$f(x)$，对应的发声弦长为$g(x)$。

已知当$x=0$时，$f(0)=a,g(0)=L$

根据物理规律，一根弦振动的发声频率与有效发声弦长呈反比，则有$f(x)\cdot g(x) = k$成立。

当$x=0$时，可得$k=aL$

由十二平均律可得，第$x$品的发声频率$f(x)=2^{\frac{1}{12}x} \cdot a$

琴弦中的某一位置为$k \cdot L$，则$g(x)=k \cdot L$

设$k=\frac{m}{n}$,$m,n$是互质的两个正整数，$1<m<n$。

联立以上关系式，得到$2^{\frac{1}{12}x} \cdot \frac{m}{n}=1$

则有

$x = 12 \cdot (log_2 n - log_2 m)$

列出m,n,x打表如下，可在吉他上找到如下的泛音点：

print('|m|n|x|round(x)|')
print('|-|-|-|-|')

s = set()
for n in range(2,1+8):
    for m in range(1,n):
        # m,n 互质
        if gcd(m, n) == 1:
            x = 12 * (log(n,2) - log(m, 2))
            print(f'|{m}|{n}|{round(x,2)}|{round(x)}|')
            s.add(round(x))

print(s)

m	n	x	round(x)
1	2	12.0	12
1	3	19.02	19
2	3	7.02	7
1	4	24.0	24
3	4	4.98	5
1	5	27.86	28
2	5	15.86	16
3	5	8.84	9
4	5	3.86	4
1	6	31.02	31
5	6	3.16	3
1	7	33.69	34
2	7	21.69	22
3	7	14.67	15
4	7	9.69	10
5	7	5.83	6
6	7	2.67	3
1	8	36.0	36
3	8	16.98	17
5	8	8.14	8
7	8	2.31	2

随着n的增加，泛音将变得越来越不明显，越靠前的泛音越常用。