一道三角形中求阴影部分面积的题
题目背景
如下图，在 Geogebra 中探索，绘图过程如下
绘制任意的三角形ABC,点E,D分别是AC边上的三等分点，点G,F分别是BC边上的三等分点;
连接AG,AF,BE,BD。
BE与AG,AF分别交于点J,K
BD与AG,AF分别交于点H,I
求出图形中的几个数值如下：
求出三角形ABC的面积t1t_1t1
求出四边形JHIK的面积q1q_1q1
求出四边形HGFI的面积q2q_2q2
求出四边形KEDI的面积q3q_3q3
求出四边形IDCF的面积q4q_4q4
分别绘制出以下点，并显示出动点的运动轨迹：
L(t1,q1)L(t_1,q_1)L(t1,q1)
M(t1,q2)M(t_1,q_2)M(t1,q2)
N(t1,q3)N(t_1,q_3)N(t1,q3)
O(t1,q4)O(t_1,q_4)O(t1,q4)
观察发现L,M,N,O四个点均在各自的过原点的直线上运动，求出各个直线的斜率分别为kL,kM,kN,kOk_L,k_M,k_N,k_OkL,kM,kN,kO，观察数值和图像，得到以下结论：
各自斜率各自为定值， ...
基于线性整数规划求解星穹铁道杯中逸事活动中原料搭配问题
问题描述与数学建模
有以下原料
设第iii个原料属性可用向量si=s_i=si=<甜度，浓度，浓稠度, 1>表示，其中第四分量的单位1后续可用于约束原材料投放的最大数量限制。
提纯浮羊奶: s1=(2,2,0,1)s_1=(2,2,0,1)s1=(2,2,0,1)
椒椒博士: s2=(1,−1,0,1)s_2=(1,-1,0,1)s2=(1,−1,0,1)
冰点苏乐达: s3=(1,−2,0,1)s_3=(1,-2,0,1)s3=(1,−2,0,1)
安神气泡饮: s4=(−1,−1,0,1)s_4=(-1,-1,0,1)s4=(−1,−1,0,1)
怪味浓汁: s5=(−2,1,0,1)s_5=(-2,1,0,1)s5=(−2,1,0,1)
激梦果酱: s6=(0,2,1,1)s_6=(0,2,1,1)s6=(0,2,1,1)
极致糖浆: s7=(0,1,2,1)s_7=(0,1,2,1)s7=(0,1,2,1)
苏花清露: s8=(0,1,−1,1)s_8=(0,1,-1,1)s8=(0,1,−1,1)
夕红果沙司: s9=(0,−1,1,1)s_ ...
吉他自然泛音点计算
设吉他的某弦的最大发声弦长为LLL，设000品的发声频率为aaa，第xxx品的发声频率为f(x)f(x)f(x)，对应的发声弦长为g(x)g(x)g(x)。
已知当x=0x=0x=0时，f(0)=a,g(0)=Lf(0)=a,g(0)=Lf(0)=a,g(0)=L
根据物理规律，一根弦振动的发声频率与有效发声弦长呈反比，则有f(x)⋅g(x)=kf(x)\cdot g(x) = kf(x)⋅g(x)=k成立。
当x=0x=0x=0时，可得k=aLk=aLk=aL
由十二平均律可得，第xxx品的发声频率f(x)=2112x⋅af(x)=2^{\frac{1}{12}x} \cdot af(x)=2121x⋅a
琴弦中的某一位置为k⋅Lk \cdot Lk⋅L，则g(x)=k⋅Lg(x)=k \cdot Lg(x)=k⋅L
设k=mnk=\frac{m}{n}k=nm,m,nm,nm,n是互质的两个正整数，1<m<n1<m<n1<m<n。
联立以上关系式，得到2112x⋅mn=12^{\frac{1}{12}x} \cdot \frac{m}{n}= ...
Latex数学符号整理
一、字母上面的上标输入方法
字母上面的上标输入方法，如表所示，
如\bar{a}表示字母a头上有一横线
实际上a可以为任意LaTex表达式
符号
语法
a^\hat{a}a^
\hat{a}
aˋ\grave{a}aˋ
\grave{a}
aˉ\bar{a}aˉ
\bar{a}
aˇ\check{a}aˇ
\check{a}
a⃗\vec{a}a
\vec{a}
a~\tilde{a}a~
\tilde{a}
a˙\dot{a}a˙
\dot{a}
a¨\ddot{a}a¨
\ddot{a}
a^\widehat{a}a
\widehat{a}
二、希腊字母的输入方法
小写符号
小写符号语法
大写符号
大写符号语法
α\alphaα
\alpha
AAA
A
β\betaβ
\beta
BBB
B
γ\gammaγ
\gamma
Γ\GammaΓ
\Gamma
δ\deltaδ
\delta
Δ\DeltaΔ
\Delta
ϵ\epsilonϵ
\epsilon
EEE
E
ε\varepsilo ...
感受泰勒展开公式
泰勒展开公式定义
f(x)=f(x0)+f′(x0)1!(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+f(3)(x0)3!(x−x0)3+...+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x)f(x)=f(x_0)
+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)
+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2
+\frac{f^{(3)}(x_0)}{3!}(x-x_0)^3
+...
+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n
+R_n(x)
f(x)=f(x0)+1!f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+3!f(3)(x0)(x−x0)3+...+n!f(n)(x0)(x−x0)n+Rn(x)
其中n阶泰勒展开的近似多项式函数与原函数f(x)的误差使用Rn(x)R_n(x)Rn(x)作为误差替代。
拉格朗日余项
Rn(x)=f(n+1)(ε)(n+1)!(x−x0)(n+1)R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\varepsilon)}{(n+ ...
乐理知识
一般而言琴弦长度与其所发出的频率呈反比。
要使这些不同的音形成音乐，需要定义出相对音高的概念。
目前世界上最通用的音律体系为十二平均律。
十二平均律
音程是两个音之间的频率差距，可以使用音数描述。
频率之比为1:2的两个音之间的音程为纯八度。
十二平均律描述了两个单音间的相对音高关系，它将一个纯八度划分为了12份，每一份为一个半音，两份为一个全音。
十二平均律中相邻的两个音之间的音数为0.5。
从基准音f0f_0f0开始，比它高纯八度的音为2f02f_02f0，其中划分为12份，则包含f0f_0f0与2f02f_02f0音在内总共具有13个音，每相邻两个音之间的频率之比应当相同，呈现出等比数列的规律。若使用fnf_nfn按顺序表示其中的每个音，且f12=2f0f_{12}=2f_0f12=2f0。
令fn=aqnf_n=aq^{n}fn=aqn，分别带入当n=0n=0n=0和n=12n=12n=12时的情况，则有
f0=af12=f0q12=2f0⇒q=2112f_0=a \\
f_{12} = f_0 q^{12} = 2 f_0 \Rightarrow q=2^\ ...
pingora体验入门
快速运行
123cargo new mypingoracargo add async-traitcargo add pingora --features=lb
main.rs
12345678910use async_trait::async_trait;use pingora::prelude::*;use std::sync::Arc;fn main() { let mut my_server = Server::new(None).unwrap(); my_server.bootstrap(); my_server.run_forever();}
添加一个使用RR策略的负载均衡器
1pub struct LB(Arc<LoadBalancer<RoundRobin>>);
实现ProxyHttp反向代理接口
123456789101112131415161718192021#[async_trait]impl ProxyHttp for LB { /// For this small example, ...
斯涅耳定律推导
本推导将基于费马原理进行推导，费马原理表明：光总是沿着光程为极值（极大、极小或常量）的路径传播的。因此，费马原理也叫光程极端定律。
假设存在两种介质，光在两种介质1和介质2中折射率分别是n1,n2n_1,n_2n1,n2，光线的传播路径经过介质1中的Q点，介质交接的点O，介质2中的P点，其中θ1,θ2\theta_1,\theta_2θ1,θ2分别为入射角和折射角。
光线在两种介质中的传播速度分别为：
{v1=cn1v2=cn2\left\{
\begin{matrix}
v_1=\frac{c}{n_1} \\
v_2=\frac{c}{n_2}
\end{matrix}
\right.
{v1=n1cv2=n2c
其中ccc为真空中的光速。由于光在真空中传播的速度最快，故n1,n2≥1n_1,n_2 \ge 1n1,n2≥1
Q点是一个可动点，我们约束它在沿介质交接的竖直方向上可自由运动，并定义变量x。光程QOP经过的时间T为
T=x2+a2v1+b2+(l−x)2v2T=\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{v_1}+\frac{\sqrt{ ...
GAMES101笔记-三大变换
Model 模型变换
缩放变换
S(sx,sy)=[sx000sy0001]S(s_x, s_y)=\begin{bmatrix}
s_x & 0 & 0 \\
0 & s_y & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
S(sx,sy)=⎣⎡sx000sy0001⎦⎤
S(sx,sy,sz)=[sx0000sy0000sz00001]S(s_x, s_y, s_z)=\begin{bmatrix}
s_x & 0 & 0 & 0\\
0 & s_y & 0 & 0\\
0 & 0 & s_z & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
S(sx,sy,sz)=⎣⎢⎢⎡sx0000sy0000sz00001⎦⎥⎥⎤
反射变换
Rx=[1000−10001]R_x=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
...
使用Rust描述音乐系统并模拟乐器演奏
定义基本音乐元素
音符
音符由绝对音高与时值构成
12345#[derive(Debug, Clone, Copy)]pub struct Note { pub pitch: AbsulateNotePitch, pub duration: NoteDuration,}
音高
音高分为绝对音高与相对音高。
音程
音程可由半音数描述，12个半音音程为一个八度
八度
八度代码定义如下：
12345678910111213141516171819202122232425262728#[derive(Debug, Clone, Copy)]pub enum Octave { O1, O2, O3, O4, O5, O6, O7, O8,}impl From<u8> for Octave { fn from(x: u8) -> Self { match x { 0 => Octave::O1, ...