《数学女孩2-费马大定理》阅读笔记

第 1 章 将无限宇宙尽收掌心

1.4 时钟巡回

原文中有如下描述：

从 12 开始每隔 2 个空连起来，最后回到 12 可以形成一个六边形。
从 12 开始每隔 3 个空连起来，最后回到 12 可以形成一个四边形。
从 12 开始每隔 4 个空连起来，最后回到 12 可以形成一个三角形。
我们把每隔 4 个空称为“级数为 4”。
当级数为 5 时 5, 10, 3, 8, 1, 6, 11, 4, 9, 2, 7, 12，可以形成完全巡回。

以下是 python 代码模拟实现：

def clock_traverse(step):
    start = 0
    ret = []
    while True:
        start = (start + step) % 12
        if start == 0:
            ret.append(12)
            return ret
        ret.append(start)

for i in range(1, 12):
    result = clock_traverse(i)
    print(f"{i}级数：{result}")

输出结果：

1级数：[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12]
2级数：[2, 4, 6, 8, 10, 12]
3级数：[3, 6, 9, 12]
4级数：[4, 8, 12]
5级数：[5, 10, 3, 8, 1, 6, 11, 4, 9, 2, 7, 12]
6级数：[6, 12]
7级数：[7, 2, 9, 4, 11, 6, 1, 8, 3, 10, 5, 12]
8级数：[8, 4, 12]
9级数：[9, 6, 3, 12]
10级数：[10, 8, 6, 4, 2, 12]
11级数：[11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 12]

1.5 完全巡回的条件

观察 1.4 中面的输出结果，可以发现，

1. 当级数为 1，5，7，11 时，可以形成完全巡回。
2. 当级数为 2，3，4，6，8，9，10 时，无法完全巡回。

问题 1-1: 完全循环的规律

我们称“巡回数字中最小的那个数字”为最小巡回数。

观察所有的级数表格，可发现每个级数 p 对应的所有巡回数字都是其最小巡回数的倍数。
当 p 为 1，5，7，11 时，巡回数列中的数字都是 1 的倍数，所以可以形成完全巡回。
所以能够完全巡回的数列中必定包含 1，而不能完全巡回的数列中必定不包含 1。

那么可以从级数计算出最小巡回数吗？

观察以下表格：

数字 12	级数 p	最小巡回数
12	1	1
12	2	2
12	3	3
12	4	4
12	5	1
12	6	6
12	7	1
12	8	4
12	9	3
12	10	2
12	11	1

发现当数字 12 与级数 p 不可约或者说 12 与级数 p 互质时，最小巡回数就是 1。
亦或者说当 12 与 p 的最大公约数等于 1 时，最小巡回数就是 1。

第 2 章 勾股定理

问题 2-1：存在无数个基本勾股数吗？
自然数 a，b，c 满足 a^2 + b^2 = c^2 时，可将(a, b, c)称为一组勾股数。
当 a，b，c 的最大公约数为 1 时，(a, b, c) 称为基本勾股数。

问题 2-2: 以原点为中心的单位圆上存在无数个有理点吗？
有理点定义是 x, y 坐标都是有理数的点。

引用原文的描述：
整数的结构是由质因数表示的
有理数的结构是由整数之比表示的

问题 2-3: 存在 a 和 b 皆为偶数的基本勾股数 a,b,c 吗？

举例总结几个基本勾股数：

a	b	c
3	4	5
5	12	13
7	24	25
8	15	17
9	40	41

调查奇偶性发现 a, b 之中总是存在一个奇数。

证明：

1. 假设 a, b 皆为偶数，则 a^2, b^2 均为偶数。
2. 则 c^2 = a^2 + b^2 为偶数。
3. 一个数的平方为偶数的数只能是偶数，故 c 是偶数。
4. 故 a, b, c 皆为偶数，存在公约数 2
5. 这与基本勾股数的最大公约数为 1 矛盾，故假设不成立。
6. a, b 必存在一个奇数。

解答 2-3: 不存在 a 和 b 皆为偶数的基本勾股数 a,b,c

问题 2-4: 存在 a 和 b 皆为奇数的基本勾股数 a,b,c 吗？

1. 假设 a, b 皆为奇数
2. $a^2, b^2$ 均为奇数
3. $c^2=a^2+b^2$为偶数，c 为偶数
4. c 是 2 的倍数，故$c^2$是 4 的倍数
5. 设 $a=2J-1$，$b=2K-1$
6. 带入 g 勾股定理，得 $c^2=(2J-1)^2+(2K-1)^2=4(J^2-J+K^2-K)+2$
7. 将$c^2 \div 4$，发现除不尽，余数为 2.
8. 这与 4 中$c^2$为 4 的倍数矛盾，故假设不成立
9. a, b 必存在一个偶数。

解答 2-4: 不存在 a 和 b 皆为奇数的基本勾股数 a,b,c

故基本勾股数中 a, b 必须为一奇一偶的形式。

2.5.3 向着乘积的形式出发

整数的结构是由质因数表示的

尝试将勾股定理分解为乘积的形式：
$a^2 + b^2 = c^2$
$b^2 = c^2 - a^2$
$b^2 = (c - a)(c + a)$

假定 a 为奇数，b 为偶数，故 c 为奇数。

1. c + a 为偶数, c - a 为偶数
2. 设自然数 $A, B, C$，则有$c-a = 2A$，$b = 2B$，$c+a = 2C$
3. 由于 a, b, c 是直角三角形的三个边，斜边 c>a，故 c-a>0，A>0
4. 继续代入勾股定理可得$B^2 = AC$

证明 a,c 互质：

1. 假设 a, c 最大公约数为 g (g>1)，则存在自然数 J,K 使得 a=gJ, c=gK
2. $b^2 = g^2(K^2-J^2)$
3. 故$b^2$是$g^2$的倍数，故 b 是 g 的倍数
4. 即 a, b, c 都是 g 的倍数。
5. 这与基本勾股数的最大公约数为 1 矛盾，故假设不成立。
6. 故 a, c 必互质。

同理 b, c 也互质。

问题 2-5: a, c 互质，当 c-a=2A, c+a=2C 时，A, C 互质吗？

1. 假设 A, C 不互质，则 A, C 存在最大公约数 d (d>=2)
2. $A=dA'$，$C=dC'$
3. $c-a = 2A$, $c+a = 2C$
4. 使用$A'$和$C'$来表示 a, c
5. $(c+a)+(c-a) = 2C+2A$可推出$c=d(C'+A')$, 故 c 是 d 的倍数
6. $(c+a)-(c-a) = 2C-2A$可推出$a=d(C'-A')$, 故 a 是 d 的倍数
7. 这与问题中的条 a, c 互质矛盾，故假设不成立。
8. 故 A, C 必互质。

解答 2-5: a, c 互质，当 c-a=2A, c+a=2C 时，A, C 互质

2.5.5 分解质因数

问题 2-6: A,B,C 是自然数，$B^2=AC$，A，C 互质，A, C 一定为平方数吗？

将 A, B, C 分解质因数，可得到如下形式：

$A=a_1 a_2 ... a_s$, 其中$a_1~a_s$是质数
$B=b_1 b_2 ... b_t$, 其中$b_1~b_t$是质数
$C=c_1 c_2 ... c_u$, 其中$c_1~c_u$是质数

代入$B^2=AC$得到：
$b_1^2 b_2^2 ... b_t^2=(a_1 a_2 ... a_s) (c_1 c_2 ... c_u)$

1. 将平方数分解质因数，一定包含偶数个质因数
2. 根据质因数分解的唯一分解定理可知，左右两侧的质因数数列应当完全一致。
3. 由于 A, C 互质，即 A，C 的最大公约数为 1，即 A, C 分解质因数后没有共同的质因数，即任意一个质因数$b_k$不是在 A 中就是在 C 中。
4. 由于 A, C 中不能出现相同的质因数，但又由于质因数的个数是偶数个，故 A, C 都是平方数。

解答 2-6: A,B,C 是自然数，$B^2=AC$，A，C 互质，A, C 一定为平方数

此时 A 和 C 可以使用 m, n 表示，其中 m, n 为自然数。
$C=m^2$, $A=n^2$
由于 C, A 没有公共的质因数，故 m,n 也没有公共的质因数，故 m,n 也互质。

1. $a=C-A=m^2-n^2>0$, m>n, a 是奇数，故 m,n 的奇偶性不一致。
2. $c=C+A=m^2+n^2$
3. $B^2=AC=m^2n^2$可得到$B=mn$，故$b=2B=2mn$
4. 故基本勾股数可以用互质的 m,n 表示为$(a,b,c)=(m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2)$

故最终基本勾股数的一般形式用以下形式表示：
$(a,b,c)=(m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2)$, m, n 为互质的自然数，m>n，m,n 的奇偶性不一致。

解答 2-1：存在无数个基本勾股数
质数列是无限的，m,n 可通过质数列产生，故可以创造无数个勾股数。

一个勾股数的产生程序:

from math import gcd

def pythagorean_triplet(m, n):
    return (m**2 - n**2, 2*m*n, m**2 + n**2)

# 判断是否互质
def is_coprime(a, b):
    return gcd(a, b) == 1

for m in range(1, 10):
    for n in range(1, m):

        if m % 2 == 1 and n % 2 == 1:
            continue
        if not is_coprime(m, n):
            continue
        triplet = pythagorean_triplet(m, n)
        print(f"m: {m}, n: {n}, triplet: {triplet}")

2.8 单位圆上的有理点

设(x,y)为平面坐标系中的一个点，方程$x^2+y^2=1$表示单位圆，即圆心为原点 O，半径为 1 的圆。这个圆上“存在无数个有理点”等价于方程$x^2+y^2=1$"存在无数个有理数解"。

过点$P(-1,0)$，以斜率 t 画直线 L 交 y 轴于点$T(0,t)$，交圆于$Q$。

联立圆和直线的方程，解得
$x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$, $y=\frac{2t}{1+t^2}$
即另一个点的坐标为$Q(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2})$

使用点 T 的 y 坐标，可以通过四则运算得到点 Q 点坐标，即如果 T 是 y 轴的有理点，则 Q 就是圆上的有理点。而 T 在 y 轴上，t 取值可以自由变换为无数个 y 轴上的有理数，故单位圆上也对应了无数个有理点。

解答 2-2: 以原点为中心的单位圆上，存在无数个有理点。

考虑勾股定理$a^2+b^2=c^2$, 两边同时除以$c^2$，得到

$(\frac{a}{c})^2+(\frac{b}{c})^2=1$

即 $(x,y)=(\frac{a}{c},\frac{b}{c})$ 是单位圆上的一个有理点。

实际上不同的基本勾股数一一对应了不同的单位圆上的有理点，故“存在无数个基本勾股数”和“单位圆上存在无数个有理点”这两个命题是等价的。

对于有理数 t 可表示为两个互质的整数之比的形式，故$t=\frac{n}{m}$

由于$a,b,c>0$，故基本勾股数对应的有理点一定在第一象限，故$t<1$，即$m>n$

代入化简可得

$\frac{a}{c}=\frac{m^2-n^2}{m^2+n^2}$, $\frac{b}{c}=\frac{2mn}{m^2+n^2}$

$a:b:c=m^2-n^2:2mn:m^2+n^2$

$a=km^2-kn^2, b=2kmn, c=k(m^2+n^2)$

根据基本勾股数的定义，a, b, c 的最大公约数为 1，故$k=1$，故$a=m^2-n^2, b=2mn, c=m^2+n^2$

第 3 章 互质

问题 3-1: 假设$M, L$分别表示自然数$a,b$的最大公约数和最小公倍数，如何使用$M,L$表示$a\times b$？

可以举一些例子：

a	b	$a\times b$	M	L
1	1	1	1	1
$18=2\times 3^2$	$24=2^3 \times 3$	$2^4 \times 3^3 = 432$	$2\times3=6$	$2^3\times3^2=72$

最大公约数是把两个数都包含的质因数合在一起。
最小公倍数是把两个数包含的所有的质因数合在一起并去除一份公共的重复的质因数。

解答 3-1: 假设$M, L$分别表示自然数$a,b$的最大公约数和最小公倍数，那么$a\times b=M\times L$

3.6 质数指数计数法

例如 $280=2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 5\cdot 7 = 2^3 \cdot 3^0 \cdot 5^1 \cdot 7^1 \cdot 11^0 \cdot ...=<3,0,1,1,0,...>$

像这种表示的方式叫做质数指数计数法，其中的各个数字称为成份，成份数列是个无穷数列，但最终都以 0 无限延续下去，故实际上是一个有穷数列。

一般地对于任意自然数 n，均可表示为如下形式：

$n=2^{n_2} \cdot 3^{n_3} \cdot 5^{n_5} \cdot 7^{n_7} \cdot 11^{n_{11}} \cdot ...=<n_2,n_3,n_5,n_7,n_{11},...>$

由于存在质因数分解唯一性定理，故这样的数列与自然数是一一对应的关系。

• 当其中仅包含一个 1，其余均为 0 时，数字 n 为质数。
• 当均为 0 时，数字 n 为 1。
• 当均为偶数时，数字为平方数。

$a \cdot b = <a_2+b_2,a_3+b_3,a_5+b_5,a_7+b_7,a_{11}+b_{11},...>$

使用该方式可将复杂的乘法运算简化为简单的加法运算。

3.6.4 最大公约数

$\begin{cases} a=<a_2,a_3,a_5,a_7,a_{11},...>\\ b=<b_2,b_3,b_5,b_7,b_{11},...> \end{cases}$

定义函数

$min(x,y)= \begin{cases} x,&x\leq y \\ y,&x>y \end{cases}$

则最大公约数可表示为:

$<min(a_2,b_2),min(a_3,b_3),min(a_5,b_5),min(a_7,b_7),min(a_{11},b_{11}),...>$

3.6.5 向着无限维空间触发

将质数指数计数法的数列看作是无限维空间的向量，则某个自然数与该空间内的点可以一一对应，分解质因数本质上是寻找这个点在各个坐标轴上的投影。

如果两个自然数 a,b 互质，则最大公约数为 1，则可以用$<0,0,0,...>$表示。
即对于所有的质数 p, 均有$min(a_p,b_p)=0$，即对于某个坐标轴，a,b 分量必定有一方为 0，则两个向量的点乘为 0，故这两个向量是垂直的。

故自然数 a,b 互质等价于无限维向量空间中对应的两个向量垂直，也可以写作$a\perp b$。

第 4 章 反证法

问题/解答 4-1: 证明 $\sqrt{2} $ 不是有理数

1. 有理数是指可以表示为 $\frac{a}{b}$ 的形式的数，其中 a,b 为整数, b 不为 0。若 $\frac{a}{b} $ 是最简分数，则 a,b 互质。
2. 假设 $\sqrt{2} $ 是有理数，则存在 a,b 使得 $\sqrt{2} = \frac{a}{b} $，其中 a,b 互质。
3. 两边平方，整理后得 $2 a^2 = b ^ 2$
4. 故$b^2$ 是偶数，则 b 为偶数，则存在一个整数 B，使得$b=2B$
5. 则$a^2=2B^2$, $a^2$为偶数，则 a 为偶数，则存在一个整数 A，使得$a=2A$
6. a,b 均为偶数，存在公因数 2，故 a,b 不互质，这与假设条件矛盾。
7. 故$\sqrt{2} $ 不是有理数。

解答 4-1a: 证明 $\sqrt{2} $ 不是有理数的另一种方法

1. 假设 $\sqrt{2} $ 是有理数，则存在 a,b 使得 $\sqrt{2} = \frac{a}{b} $，其中 a,b 互质。
2. 两边平方，整理后得 $2 a^2 = b ^ 2$
3. $a^2$包含了偶数个质因数 2, 则$2a^2$包含了奇数个质因数 2
4. $b^2$包含了奇数个质因数 2
5. 左右两边分解质因数中，对于质因数 2 个数点奇偶性不同产生了矛盾
6. 故$\sqrt{2} $ 不是有理数。

第 5 章 可以粉碎的质数

问题 5-1 平方等于-1 的数字是什么

解答 5-1 问题 5-1 平方等于-1 的数字是$\pm i$

5.2.2 复数的积

求以下复数的积

$\begin{cases} \alpha = 2+2i \\ \beta = 1+3i \end{cases}$

$\alpha \beta = -4+8i$

在复平面中画出这三个复数。

定义点$O(0,0),O(1,0),Q(2,2),P'(1,3),Q(-4,8)$
向量$\overrightarrow{OQ}$表示复数$\alpha$
向量$\overrightarrow{OP'}$表示复数$\beta$
向量$\overrightarrow{OQ'}$表示复数$\alpha \beta$

此时三角形 OPQ 相似于三角形 OP’Q’，则有对应变长成比例 $\frac{OQ'}{OP'}=\frac{OQ}{OP}$，$OQ'=|\alpha \beta|$,$OP=1$,$OQ=|\alpha|$,$OP'=|\beta|$, 即$|\alpha \beta|=|α| \cdot |β|$。故复数的积的模长等于两个复数的模长的乘积。

$\angle POQ'=\angle P'OQ' + \angle POP'$
由于$\triangle OPQ \sim \triangle OP'Q'$，故$\angle POQ=\angle P'OQ'$
于是得到$\angle POQ'=\angle P'OQ' + \angle POP'=\angle POQ + \angle POP'$
由于$arg(\alpha \beta)=\angle POQ'$, $arg(\alpha)=\angle POQ$, $ arg(\beta)=\angle POP’$，故$arg(\alpha \beta)=arg(\alpha)+arg(\beta)$
即复数的积的幅角等于复数幅角的和。

5.3 五个格点

问题 5-2 五个格点
假设 a,b 为整数，把在复平面上与复数 a+bi 对应的点称为格点。给出 5 个个点，位置随意，证明我们可以从中选出某两个合适的点 P 和 Q 使得线段 PQ 的中点 M 也是格点。中点 M 可以不一定与给定的 5 个格点位置相同。

解答 5-2

5.4 可以粉碎的质数