积分推导中的双曲函数与三角函数的联系

积分公式引发的思考

从积分公式中我们会发现以下有意思的情景

$\int \frac 1 {\sqrt{1-x^2}} dx = arcsinx+C_1= -arccosx+C_2$

$\int \frac 1 {\sqrt{x^2+1}} dx = arcsinhx+C$

$\int \frac 1 {\sqrt{x^2-1}} dx = \frac x {|x|} arccosh|x|+C$

$\int \frac 1 {1+x^2} dx = arctanx+C$

$\int \frac 1 {x^2-1} dx = \frac x {|x|} arctanhx+C$

我们可能会感觉到冥冥之中这些积分公式似乎存在着某种联系，或许能够实现相互统一。

复变三角函数与复变双曲函数

我们将三角函数与双曲函数的定义域扩充到复数域，引入到复变函数，我们可进行如下推导：

根据双曲正弦的定义

$sinh \space x = \frac {e^x-e^{-x}} 2$

我们可将其联系到指数函数$e^x$，再根据欧拉公式$$e^{ix}=cosx+isinx$$
令 $x=-t$ 则有

$e^{-it}=cost-isint$

即

$e^{-ix}=cosx-isinx$

我们可将指数函数与三角函数之间建立联系。
思考一下，是否能够以指数函数为桥梁使得三角函数与双曲函数之间建立联系？如下为双曲正弦与三角正弦的关系式：

$sinh \space ix = \frac {e^{ix}-e^{-ix}} 2 =isinx$

对于双曲余弦函数同理有

$cosh \space ix =\frac {e^{ix}+e^{-ix}} 2= cosx$

对于双曲正切函数有

$tanh \space ix = \frac {isinx} {cosx} = itanx$

积分公式的相互转化

可进行如下推导过程

$\begin{aligned} \int \frac 1 {\sqrt{1-x^2}} dx &= arcsinx+C \\ \int \frac 1 {\sqrt{1-x^2}} dx - C &= arcsinx \\ sin(\int \frac 1 {\sqrt{1-x^2}} dx - C) &= x \\ isin(\int \frac 1 {\sqrt{1-x^2}} dx - C) &= ix \\ sinh(i\int \frac 1 {\sqrt{1-x^2}} dx - iC) &= ix \\ \int \frac 1 {\sqrt{1+(ix)^2}} d \space (ix) &= arcsinh \space ix + iC\\ \int \frac 1 {\sqrt{1+t^2}} dt &= arcsinh \space t + iC\\ \end{aligned}$

即得到

$\int \frac 1 {\sqrt{1+x^2}} dt = arcsinh \space x + C(C为常数)$

我们成功将两个积分公式统一起来了。

PS: 读者可自行推导验证其余积分公式之间的转化。