积分公式引发的思考

从积分公式中我们会发现以下有意思的情景

11x2dx=arcsinx+C1=arccosx+C2\int \frac 1 {\sqrt{1-x^2}} dx = arcsinx+C_1= -arccosx+C_2

1x2+1dx=arcsinhx+C\int \frac 1 {\sqrt{x^2+1}} dx = arcsinhx+C

1x21dx=xxarccoshx+C\int \frac 1 {\sqrt{x^2-1}} dx = \frac x {|x|} arccosh|x|+C

11+x2dx=arctanx+C\int \frac 1 {1+x^2} dx = arctanx+C

1x21dx=xxarctanhx+C\int \frac 1 {x^2-1} dx = \frac x {|x|} arctanhx+C

我们可能会感觉到冥冥之中这些积分公式似乎存在着某种联系,或许能够实现相互统一。

复变三角函数与复变双曲函数

我们将三角函数与双曲函数的定义域扩充到复数域,引入到复变函数,我们可进行如下推导:

根据双曲正弦的定义

sinh x=exex2sinh \space x = \frac {e^x-e^{-x}} 2

我们可将其联系到指数函数exe^x,再根据欧拉公式$$e^{ix}=cosx+isinx$$
x=tx=-t 则有

eit=costisinte^{-it}=cost-isint

eix=cosxisinxe^{-ix}=cosx-isinx

我们可将指数函数与三角函数之间建立联系。
思考一下,是否能够以指数函数为桥梁使得三角函数与双曲函数之间建立联系?如下为双曲正弦与三角正弦的关系式:

sinh ix=eixeix2=isinxsinh \space ix = \frac {e^{ix}-e^{-ix}} 2 =isinx

对于双曲余弦函数同理有

cosh ix=eix+eix2=cosxcosh \space ix =\frac {e^{ix}+e^{-ix}} 2= cosx

对于双曲正切函数有

tanh ix=isinxcosx=itanxtanh \space ix = \frac {isinx} {cosx} = itanx

积分公式的相互转化

可进行如下推导过程

11x2dx=arcsinx+C11x2dxC=arcsinxsin(11x2dxC)=xisin(11x2dxC)=ixsinh(i11x2dxiC)=ix11+(ix)2d (ix)=arcsinh ix+iC11+t2dt=arcsinh t+iC\begin{aligned} \int \frac 1 {\sqrt{1-x^2}} dx &= arcsinx+C \\ \int \frac 1 {\sqrt{1-x^2}} dx - C &= arcsinx \\ sin(\int \frac 1 {\sqrt{1-x^2}} dx - C) &= x \\ isin(\int \frac 1 {\sqrt{1-x^2}} dx - C) &= ix \\ sinh(i\int \frac 1 {\sqrt{1-x^2}} dx - iC) &= ix \\ \int \frac 1 {\sqrt{1+(ix)^2}} d \space (ix) &= arcsinh \space ix + iC\\ \int \frac 1 {\sqrt{1+t^2}} dt &= arcsinh \space t + iC\\ \end{aligned}

即得到

11+x2dt=arcsinh x+C(C)\int \frac 1 {\sqrt{1+x^2}} dt = arcsinh \space x + C(C为常数)

我们成功将两个积分公式统一起来了。

PS: 读者可自行推导验证其余积分公式之间的转化。