引言

波动方程是数学物理中最重要的偏微分方程之一，描述了波在介质中的传播规律。从弦的振动、声波传播到电磁波辐射，波动方程都是描述这些物理现象的基础工具。

本文将从物理模型出发，详细推导一维波动方程的标准形式：

∂2u∂t2=c2∂2u∂x2\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}

其中 u(x,t)u(x,t) 表示位移函数，cc 为波速。

物理模型：弹性弦的微小振动

基本假设

考虑一根长度为 LL 的弹性弦，两端固定在 x=0x=0 和 x=Lx=L 处。对弦的振动做以下理想化假设：

  1. 弦是完全柔软的：弦只能承受拉力，不能承受弯矩
  2. 弦的线密度恒定：设为 ρ\rho (kg/m)
  3. 弦在拉紧状态下振动：张力 TT 为常数
  4. 振动是微小的：弦上各点的位移远小于弦长，可忽略二阶小量
  5. 振动只发生在垂直方向：不考虑纵向位移

在这些假设下，弦的振动可以用位移函数 u(x,t)u(x,t) 描述，其中 xx 为弦上点的平衡位置，uu 为该点在 tt 时刻相对平衡位置的垂直位移。

微元段受力分析

在弦上取一微元段 [x,x+Δx][x, x+\Delta x]，分析其受力情况：

弦的微元段示意图

张力的分解

微元段两端受到张力作用：

  • 左端点 (x,u(x,t))(x, u(x,t)) 处张力为 TT，方向沿弦的切线，与水平方向夹角为 θ1\theta_1
  • 右端点 (x+Δx,u(x+Δx,t))(x+\Delta x, u(x+\Delta x,t)) 处张力为 TT，与水平方向夹角为 θ2\theta_2

由于振动是微小的，切线斜率可以近似为：

tan⁡θ1=∂u∂x∣x≈θ1\tan\theta_1 = \frac{\partial u}{\partial x}\bigg|_{x} \approx \theta_1

tan⁡θ2=∂u∂x∣x+Δx≈θ2\tan\theta_2 = \frac{\partial u}{\partial x}\bigg|_{x+\Delta x} \approx \theta_2

垂直方向受力

微元段在垂直方向的合力为：

Fy=Tsin⁡θ2−Tsin⁡θ1F_y = T\sin\theta_2 - T\sin\theta_1

在小角度近似下，sin⁡θ≈tan⁡θ≈θ\sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta，因此：

Fy≈T(∂u∂x∣x+Δx−∂u∂x∣x)F_y \approx T\left(\frac{\partial u}{\partial x}\bigg|_{x+\Delta x} - \frac{\partial u}{\partial x}\bigg|_{x}\right)

利用导数的定义：

Fy≈T⋅∂2u∂x2∣x⋅ΔxF_y \approx T \cdot \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\bigg|_{x} \cdot \Delta x

牛顿第二定律

微元段的质量为 Δm=ρΔx\Delta m = \rho \Delta x，其加速度为 ∂2u∂t2\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}，根据牛顿第二定律：

Fy=Δm⋅∂2u∂t2F_y = \Delta m \cdot \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}

即：

T∂2u∂x2Δx=ρΔx⋅∂2u∂t2T \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \Delta x = \rho \Delta x \cdot \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}

波动方程的导出

将上式两边除以 Δx\Delta x：

T∂2u∂x2=ρ∂2u∂t2T \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \rho \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}

整理后得到：

∂2u∂t2=Tρ∂2u∂x2\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{T}{\rho} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}

定义波速 c=Tρc = \sqrt{\frac{T}{\rho}}，最终得到一维波动方程的标准形式：

∂2u∂t2=c2∂2u∂x2\boxed{\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}}

波速的物理意义

从 c=Tρc = \sqrt{\frac{T}{\rho}} 可以看出：

  • 张力 TT 越大，波速越快：弦拉得越紧，波传播越快
  • 线密度 ρ\rho 越大,波速越慢：弦越重，惯性越大，波传播越慢

这符合日常经验：吉他调音时，拧紧弦（增大张力）会使音调变高（波速增大）。

波动方程的通解：达朗贝尔公式

换元求解

引入新变量：

ξ=x−ct,η=x+ct\xi = x - ct, \quad \eta = x + ct

则原方程变为：

∂2u∂ξ∂η=0\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} = 0

推导过程：

利用链式法则：

∂u∂x=∂u∂ξ∂ξ∂x+∂u∂η∂η∂x=∂u∂ξ+∂u∂η\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial \xi} + \frac{\partial u}{\partial \eta}

∂u∂t=∂u∂ξ∂ξ∂t+∂u∂η∂η∂t=−c∂u∂ξ+c∂u∂η\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial u}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial t} = -c\frac{\partial u}{\partial \xi} + c\frac{\partial u}{\partial \eta}

进一步求二阶导数：

∂2u∂x2=∂2u∂ξ2+2∂2u∂ξ∂η+∂2u∂η2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} + 2\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} + \frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2}

∂2u∂t2=c2(∂2u∂ξ2−2∂2u∂ξ∂η+∂2u∂η2)\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2\left(\frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} - 2\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} + \frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2}\right)

代入波动方程 ∂2u∂t2=c2∂2u∂x2\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}：

c2(∂2u∂ξ2−2∂2u∂ξ∂η+∂2u∂η2)=c2(∂2u∂ξ2+2∂2u∂ξ∂η+∂2u∂η2)c^2\left(\frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} - 2\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} + \frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2}\right) = c^2\left(\frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} + 2\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} + \frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2}\right)

化简得：

−4c2∂2u∂ξ∂η=0⇒∂2u∂ξ∂η=0-4c^2\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} = 0

通解形式

方程 ∂2u∂ξ∂η=0\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} = 0 的通解为：

u(ξ,η)=f(ξ)+g(η)u(\xi, \eta) = f(\xi) + g(\eta)

其中 ff 和 gg 是任意二次可微函数。代回原变量：

u(x,t)=f(x−ct)+g(x+ct)\boxed{u(x,t) = f(x-ct) + g(x+ct)}

这就是著名的达朗贝尔公式。

物理解释

  • f(x−ct)f(x-ct)：表示沿 xx 正方向以速度 cc 传播的右行波
  • g(x+ct)g(x+ct)：表示沿 xx 负方向以速度 cc 传播的左行波

任意时刻的波形都是两个相向传播的波的叠加。

初值问题的求解

问题描述

给定初始条件：

{u(x,0)=φ(x)(初始位移)∂u∂t(x,0)=ψ(x)(初始速度)\begin{cases} u(x,0) = \varphi(x) & \text{(初始位移)} \\ \frac{\partial u}{\partial t}(x,0) = \psi(x) & \text{(初始速度)} \end{cases}

求解 u(x,t)u(x,t)。

求解过程

将达朗贝尔公式代入初始条件：

初始位移条件：

u(x,0)=f(x)+g(x)=φ(x)⋯(1)u(x,0) = f(x) + g(x) = \varphi(x) \quad \cdots (1)

初始速度条件：

∂u∂t(x,0)=−cf′(x)+cg′(x)=ψ(x)\frac{\partial u}{\partial t}(x,0) = -cf'(x) + cg'(x) = \psi(x)

积分后得：

−f(x)+g(x)=1c∫0xψ(s) ds+C⋯(2)-f(x) + g(x) = \frac{1}{c}\int_0^x \psi(s)\,ds + C \quad \cdots (2)

联立 (1)(1) 和 (2)(2)，解得：

f(x)=12φ(x)−12c∫0xψ(s) ds−C2f(x) = \frac{1}{2}\varphi(x) - \frac{1}{2c}\int_0^x \psi(s)\,ds - \frac{C}{2}

g(x)=12φ(x)+12c∫0xψ(s) ds+C2g(x) = \frac{1}{2}\varphi(x) + \frac{1}{2c}\int_0^x \psi(s)\,ds + \frac{C}{2}

代入通解 u(x,t)=f(x−ct)+g(x+ct)u(x,t) = f(x-ct) + g(x+ct)：

u(x,t)=φ(x−ct)+φ(x+ct)2+12c∫x−ctx+ctψ(s) ds\boxed{u(x,t) = \frac{\varphi(x-ct) + \varphi(x+ct)}{2} + \frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct} \psi(s)\,ds}

这就是达朗贝尔公式的初值解。

解的几何意义

在 (x,t)(x,t) 平面上，点 (x,t)(x,t) 处的解值由以下区域决定：

  • 依赖区间：[x−ct,x+ct][x-ct, x+ct]
  • 影响区域：从初始点 (x0,0)(x_0, 0) 出发的特征线 x−x0=±ctx-x_0 = \pm ct

这体现了波动方程的有限传播速度特性：初始扰动只会在有限时间内影响有限区域。

边界条件与定解问题

固定边界条件

对于两端固定的弦（如吉他弦），边界条件为：

u(0,t)=0,u(L,t)=0u(0,t) = 0, \quad u(L,t) = 0

结合初始条件，可以用分离变量法求解：

u(x,t)=∑n=1∞(Ancos⁡nπctL+Bnsin⁡nπctL)sin⁡nπxLu(x,t) = \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\frac{n\pi ct}{L} + B_n\sin\frac{n\pi ct}{L}\right)\sin\frac{n\pi x}{L}

其中系数由初始条件的傅里叶展开确定。

自由边界条件

如果弦的一端自由（如鞭子末端），边界条件为：

∂u∂x(L,t)=0(张力为零)\frac{\partial u}{\partial x}(L,t) = 0 \quad \text{(张力为零)}

不同的边界条件对应不同的物理情景，求解方法也有所不同。

能量守恒

波动方程具有能量守恒性质。弦的总能量包括：

动能：

Ek=12∫0Lρ(∂u∂t)2dxE_k = \frac{1}{2}\int_0^L \rho \left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^2 dx

势能（弹性势能）：

Ep=12∫0LT(∂u∂x)2dxE_p = \frac{1}{2}\int_0^L T \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2 dx

总能量：

E=Ek+Ep=12∫0L[ρ(∂u∂t)2+T(∂u∂x)2]dxE = E_k + E_p = \frac{1}{2}\int_0^L \left[\rho \left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^2 + T \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2\right] dx

对于无外力、无耗散的理想弦，可以证明 dEdt=0\frac{dE}{dt} = 0，即能量守恒。

推广与应用

三维波动方程

一维波动方程可以推广到三维空间：

∂2u∂t2=c2∇2u=c2(∂2u∂x2+∂2u∂y2+∂2u∂z2)\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u = c^2 \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\right)

这描述了声波、光波等三维波的传播。

非齐次波动方程

如果弦上存在外力分布 F(x,t)F(x,t)，波动方程变为：

∂2u∂t2=c2∂2u∂x2+F(x,t)ρ\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{F(x,t)}{\rho}

可以用格林函数法或杜哈梅原理求解。

阻尼波动方程

考虑介质阻尼时，方程变为：

∂2u∂t2+2γ∂u∂t=c2∂2u∂x2\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} + 2\gamma \frac{\partial u}{\partial t} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}

其中 γ\gamma 为阻尼系数。波在传播过程中会逐渐衰减。

总结

本文从弹性弦的物理模型出发，通过微元法和牛顿第二定律，严格推导了一维波动方程：

∂2u∂t2=c2∂2u∂x2\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}

并介绍了达朗贝尔公式给出的通解，以及如何用初值条件确定具体解。

核心要点：

  1. 波动方程描述了波的传播，波速 c=T/ρc = \sqrt{T/\rho} 取决于介质的弹性和惯性
  2. 通解是左行波和右行波的叠加，体现了波的双向传播特性
  3. 初值问题的解具有有限传播速度，符合因果律
  4. 能量守恒是波动方程的重要性质

波动方程不仅是数学物理的基础，也是量子力学、电动力学等现代物理学的核心工具。掌握其推导过程，对理解波的本质至关重要。

参考文献

  1. 谷超豪, 李大潜, 陈恕行等. 《数学物理方程》, 高等教育出版社, 2012
  2. Walter A. Strauss. Partial Differential Equations: An Introduction, Wiley, 2007
  3. Richard Haberman. Applied Partial Differential Equations, Pearson, 2013