椭圆周长公式推导
参考资料
本文是针对视频
https://www.bilibili.com/video/BV1ZF411f7Xv
整理的笔记
推导
椭圆的参数方程：
{x=acosθy=bsinθ\begin{cases}
x = a \cos \theta \\
y = b \sin \theta
\end{cases}
{x=acosθy=bsinθ
对参数方程求微分：
{dx=−asinθdθdy=bcosθdθ\begin{cases}
dx = -a \sin \theta d\theta \\
dy = b \cos \theta d\theta
\end{cases}
{dx=−asinθdθdy=bcosθdθ
则周长可以表示为：
C=∫02πdx2+dy2=∫02π(−asinθ)2+(bcosθ)2dθ=∫02πa2(1−cos2θ)+b2cos2θdθ=∫02πa2−(a2−b2)cos2θdθ=a∫02π1−a2−b2a2cos2θdθ=4a∫0π21−a2−b2a2cos2θdθ\begin{aligned}
C &= \int_0^{2\pi} ...
Hyper-V嵌套虚拟化运行PVE折腾
参考资料
微软官方文档说明的已经很详细了，包括其中网络部分的设置
https://learn.microsoft.com/zh-cn/virtualization/hyper-v-on-windows/user-guide/enable-nested-virtualization#networking-options
环境准备
先在Windows可选功能中将Hyper-V管理平台勾选上，重启电脑后确保可以正常使用Hyper-V创建虚拟机。
创建一个Hyper-V虚拟机，准备安装PVE，我这里虚拟机起名为pve
开启嵌套虚拟化
以管理员身份开启一个PowerShell
12345678910111213# 获取当前所有虚拟机Get-VM# 查看虚拟机处理器相关信息Get-VMProcessor -VMName pve | fl# 可以看到 ExposeVirtualizationExtensions: False# 开启嵌套虚拟化Set-VMProcessor -ExposeVirtualizationExtensions $true -VMName pve# 确认是否成功开启Ge ...
《数学女孩2-费马大定理》阅读笔记 (下)
第 8 章 无穷递降法
8.1 费马大定理
当$n\ge 3 $时，以下方程式不存在自然数解：
xn+yn=znx^n + y^n = z^n
xn+yn=zn
费马大定理证明时间表：
年份
FLT(n)
证明人
1640
FLT(4)
由费马证明
1753
FLT(3)/FLT(6)
由欧拉证明
1825
FLT(5)
由狄利克雷和勒让德证明
1832
FLT(14)
由狄利克雷证明
1839
FLT(7)
由拉梅证明
其中欧拉证明了 FLT(3)其实也相当于把 FLT(6)也证明出来了。
在已经证明出来了 FLT(3)的前提下，证明 FLT(6)，使用反证法：
假设方程x6+y6=z6x^6 + y^6 = z^6x6+y6=z6存在自然数解(x,y,z)=(a,b,c)(x,y,z)=(a,b,c)(x,y,z)=(a,b,c)
则a6+b6=c6a^6 + b^6 = c^6a6+b6=c6，即(a2)3+(b2)3=(c2)3(a^2)^3 + (b^2)^3 = (c^2)^3(a2)3+(b2)3=(c2)3
定义(A,B,C)= ...
《数学女孩2-费马大定理》阅读笔记 (上)
第 1 章 将无限宇宙尽收掌心
1.4 时钟巡回
原文中有如下描述：
从 12 开始每隔 2 个空连起来，最后回到 12 可以形成一个六边形。
从 12 开始每隔 3 个空连起来，最后回到 12 可以形成一个四边形。
从 12 开始每隔 4 个空连起来，最后回到 12 可以形成一个三角形。
我们把每隔 4 个空称为“级数为 4”。
当级数为 5 时 5, 10, 3, 8, 1, 6, 11, 4, 9, 2, 7, 12，可以形成完全巡回。
以下是 python 代码模拟实现：
12345678910111213def clock_traverse(step): start = 0 ret = [] while True: start = (start + step) % 12 if start == 0: ret.append(12) return ret ret.append(start)for i in range(1, 12): result = clock_tr ...
一道三角形中求阴影部分面积的题
题目背景
如下图，在 Geogebra 中探索，绘图过程如下
绘制任意的三角形ABC,点E,D分别是AC边上的三等分点，点G,F分别是BC边上的三等分点;
连接AG,AF,BE,BD。
BE与AG,AF分别交于点J,K
BD与AG,AF分别交于点H,I
求出图形中的几个数值如下：
求出三角形ABC的面积t1t_1t1
求出四边形JHIK的面积q1q_1q1
求出四边形HGFI的面积q2q_2q2
求出四边形KEDI的面积q3q_3q3
求出四边形IDCF的面积q4q_4q4
分别绘制出以下点，并显示出动点的运动轨迹：
L(t1,q1)L(t_1,q_1)L(t1,q1)
M(t1,q2)M(t_1,q_2)M(t1,q2)
N(t1,q3)N(t_1,q_3)N(t1,q3)
O(t1,q4)O(t_1,q_4)O(t1,q4)
观察发现L,M,N,O四个点均在各自的过原点的直线上运动，求出各个直线的斜率分别为kL,kM,kN,kOk_L,k_M,k_N,k_OkL,kM,kN,kO，观察数值和图像，得到以下结论：
各自斜率各自为定值， ...
基于线性整数规划求解星穹铁道杯中逸事活动中原料搭配问题
问题描述与数学建模
有以下原料
设第iii个原料属性可用向量si=s_i=si=<甜度，浓度，浓稠度, 1>表示，其中第四分量的单位1后续可用于约束原材料投放的最大数量限制。
提纯浮羊奶: s1=(2,2,0,1)s_1=(2,2,0,1)s1=(2,2,0,1)
椒椒博士: s2=(1,−1,0,1)s_2=(1,-1,0,1)s2=(1,−1,0,1)
冰点苏乐达: s3=(1,−2,0,1)s_3=(1,-2,0,1)s3=(1,−2,0,1)
安神气泡饮: s4=(−1,−1,0,1)s_4=(-1,-1,0,1)s4=(−1,−1,0,1)
怪味浓汁: s5=(−2,1,0,1)s_5=(-2,1,0,1)s5=(−2,1,0,1)
激梦果酱: s6=(0,2,1,1)s_6=(0,2,1,1)s6=(0,2,1,1)
极致糖浆: s7=(0,1,2,1)s_7=(0,1,2,1)s7=(0,1,2,1)
苏花清露: s8=(0,1,−1,1)s_8=(0,1,-1,1)s8=(0,1,−1,1)
夕红果沙司: s9=(0,−1,1,1)s_ ...
吉他自然泛音点计算
设吉他的某弦的最大发声弦长为LLL，设000品的发声频率为aaa，第xxx品的发声频率为f(x)f(x)f(x)，对应的发声弦长为g(x)g(x)g(x)。
已知当x=0x=0x=0时，f(0)=a,g(0)=Lf(0)=a,g(0)=Lf(0)=a,g(0)=L
根据物理规律，一根弦振动的发声频率与有效发声弦长呈反比，则有f(x)⋅g(x)=kf(x)\cdot g(x) = kf(x)⋅g(x)=k成立。
当x=0x=0x=0时，可得k=aLk=aLk=aL
由十二平均律可得，第xxx品的发声频率f(x)=2112x⋅af(x)=2^{\frac{1}{12}x} \cdot af(x)=2121x⋅a
琴弦中的某一位置为k⋅Lk \cdot Lk⋅L，则g(x)=k⋅Lg(x)=k \cdot Lg(x)=k⋅L
设k=mnk=\frac{m}{n}k=nm,m,nm,nm,n是互质的两个正整数，1<m<n1<m<n1<m<n。
联立以上关系式，得到2112x⋅mn=12^{\frac{1}{12}x} \cdot \frac{m}{n}= ...
Latex数学符号整理
一、字母上面的上标输入方法
字母上面的上标输入方法，如表所示，
如\bar{a}表示字母a头上有一横线
实际上a可以为任意LaTex表达式
符号
语法
a^\hat{a}a^
\hat{a}
aˋ\grave{a}aˋ
\grave{a}
aˉ\bar{a}aˉ
\bar{a}
aˇ\check{a}aˇ
\check{a}
a⃗\vec{a}a
\vec{a}
a~\tilde{a}a~
\tilde{a}
a˙\dot{a}a˙
\dot{a}
a¨\ddot{a}a¨
\ddot{a}
a^\widehat{a}a
\widehat{a}
二、希腊字母的输入方法
小写符号
小写符号语法
大写符号
大写符号语法
α\alphaα
\alpha
AAA
A
β\betaβ
\beta
BBB
B
γ\gammaγ
\gamma
Γ\GammaΓ
\Gamma
δ\deltaδ
\delta
Δ\DeltaΔ
\Delta
ϵ\epsilonϵ
\epsilon
EEE
E
ε\varepsilo ...
感受泰勒展开公式
泰勒展开公式定义
f(x)=f(x0)+f′(x0)1!(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+f(3)(x0)3!(x−x0)3+...+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x)f(x)=f(x_0)
+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)
+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2
+\frac{f^{(3)}(x_0)}{3!}(x-x_0)^3
+...
+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n
+R_n(x)
f(x)=f(x0)+1!f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+3!f(3)(x0)(x−x0)3+...+n!f(n)(x0)(x−x0)n+Rn(x)
其中n阶泰勒展开的近似多项式函数与原函数f(x)的误差使用Rn(x)R_n(x)Rn(x)作为误差替代。
拉格朗日余项
Rn(x)=f(n+1)(ε)(n+1)!(x−x0)(n+1)R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\varepsilon)}{(n+ ...
乐理知识
一般而言琴弦长度与其所发出的频率呈反比。
要使这些不同的音形成音乐，需要定义出相对音高的概念。
目前世界上最通用的音律体系为十二平均律。
十二平均律
音程是两个音之间的频率差距，可以使用音数描述。
频率之比为1:2的两个音之间的音程为纯八度。
十二平均律描述了两个单音间的相对音高关系，它将一个纯八度划分为了12份，每一份为一个半音，两份为一个全音。
十二平均律中相邻的两个音之间的音数为0.5。
从基准音f0f_0f0开始，比它高纯八度的音为2f02f_02f0，其中划分为12份，则包含f0f_0f0与2f02f_02f0音在内总共具有13个音，每相邻两个音之间的频率之比应当相同，呈现出等比数列的规律。若使用fnf_nfn按顺序表示其中的每个音，且f12=2f0f_{12}=2f_0f12=2f0。
令fn=aqnf_n=aq^{n}fn=aqn，分别带入当n=0n=0n=0和n=12n=12n=12时的情况，则有
f0=af12=f0q12=2f0⇒q=2112f_0=a \\
f_{12} = f_0 q^{12} = 2 f_0 \Rightarrow q=2^\ ...