Whitted-Style 光线追踪的问题 Whitted-Style 风格的光线追踪特点： 总是计算镜面反射和折射。 在漫反射表面上光线不会反弹。 但这些假设是有问题的，因此需要引入路径追踪。 左边像镜子，右边像磨砂金属。 左边是完全的镜像反射 Mirror reflection，右边是 Glossy reflection。 一根光线从上面打到了一个漫反射物体表面，光线就不再弹射了，这导致如图左侧所示的黑色阴影区域。 如右图物体表面呈现红色区域，说明红色的墙面的颜色跑到了物体表面上，这种现象称之为color bleeding。这是因为光线打到了墙面后，光线又反弹到了物体表面上，说明了全局光照会反弹不止一次。 如果没有全局光照，天花板就是黑的，物体侧面就是黑的。 Whitted-Style 光线追踪的错误 所以 Whitted-Style 风格的光线追踪是错误的，渲染方程是正确的。 如果需要正确计算物体表面上一个点打到的光线，则需要求解渲染方程。 但是求解它，需要计算半球上的积分，这是一个递归的执行流程。 这个积分式可以使用蒙特拉洛积分的方式来求解。 蒙特拉洛方式求解渲 ...

概率论简单回顾 随机变量 Random Variable 随机变量 $ X $：代表潜在值的分布。 概率密度函数（PDF）$ X \sim p(x) $：描述随机过程选取值 $ x $ 的相对概率。 示例：均匀的概率密度函数：在一个定义域内所有值的可能性均等。 例如：六面骰子，$ X $ 取值为 $ 1,2,3,4,5,6 $，且 $ p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6) $。 概率 Probabilities 存在 $ n $ 个离散值 $ x_i $，每个值对应概率 $ p_i $。 概率分布的要求： $ p_i \geq 0 $ $ \sum_{i = 1}^{n} p_i = 1 $ 六面骰子示例：$ p_i = \frac{1}{6} $ 随机变量的期望 Expected Value of a Random Variable 是从随机分布中反复抽取样本时得到的平均值。 若随机变量 $ X $ 来自具有 $ n $ 个离散值 $ xi $（对应概率为 $ p_i ）的分布，）的分布，）的分布， X $ 的期望值为：$ E ...

Radiance vs Irradiance 辐射/亮度 vs 辐照度 Irradiance 辐照度: 单位面积上接收到的辐射功率 Radiance 辐射/亮度: 在dωd\omegadω立体角方向上，单位面积上接收到的辐射功率 沿着某个方向ω\omegaω入射到点ppp上的辐射亮度为Li(p,ω)L_i(p, \omega)Li​(p,ω)，则该点在该方向ω\omegaω上单位面积上接收到的辐照度为dE(p)d E(p)dE(p)。 dE(p,ω)=Li(p,ω)⋅cos⁡θ⋅dωd E(p, \omega) = L_i(p, \omega) \cdot \cos \theta \cdot d\omega \\ dE(p,ω)=Li​(p,ω)⋅cosθ⋅dω 则在所有方向上入射到点ppp上的辐照度为： E(p)=∫H2Li(p,ω)⋅cos⁡θ⋅dωE(p) = \int_{H^2} L_i(p, \omega) \cdot \cos \theta \cdot d\omega E(p)=∫H2​Li​(p,ω)⋅cosθ⋅dω BRDF 双向反射分布函数(Bidirect ...

单质点模拟 首先，提出先聚焦于单个粒子的运动，之后再将研究推广到大量粒子的情况。 为开展研究，假设粒子的运动由速度矢量场决定。该速度矢量场是位置xxx和时间ttt的函数，记为v(x,t)v(x,t)v(x,t)。 右侧的图示直观呈现了速度矢量场（由箭头表示）以及粒子在该速度场中运动的轨迹。 常微分方程 Ordinary Differential Equation (ODE) 计算速度场内粒子的位置需要计算一阶常微分方程 dxdt=x˙=v(x,t)\frac{dx}{dt} = \dot{x} = v(x, t) dtdx​=x˙=v(x,t) 欧拉方法 Euler’s Method 欧拉方法，又称为前向欧拉，显式欧拉，是数值积分中最简单的方法之一。 使用很简单的迭代的方式 很常见 很不准 结果通常不稳定 始终使用前一段的量估计下一帧的量。 xt+Δt=xt+Δt⋅x˙tx˙t+Δt=x˙t+Δt⋅x¨tx^{t+\Delta t} = x^t + \Delta t \cdot \dot{x}^t \\ \dot{x}^{t+\Delta t} = \dot{x}^t + ...

动画是一种信息传递的工具 美学经常比技术重要 是模型的延伸 → 连续性 将场景模型表示为时间的函数 输出一系列图像，当顺序查看时提供运动的感觉 帧率 电影：24FPS 视频：30FPS、29.994FPS VR：90FPS （不晕的基础要求） 关键帧动画 动画师创建关键帧 助手（人工或程序）创建中间帧 其中的关键技术即为插值技术 线性插值: 通常可能不太满足动画需求 样条插值: 更平滑的插值方式 Catmull-Rom 样条 B 样条 Bezier 曲线 物理仿真动画 模拟、仿真：推导、实现公式，模拟出物体应该怎么变化 例子：布料模拟、流体模拟 质点弹簧系统 Mass-Spring System 一个弹簧左右连接两个质点，位置是a,b\mathbf a, \mathbf ba,b，弹簧劲度系数为kSk_SkS​。 当弹簧拉伸时候，弹簧会对两个质点施加一个拉力： 质点a\mathbf aa受到的往b\mathbf bb方向的拉力为： fa→b=kS(b−a)\mathbf f_{a \rightarrow b} = k_S ( \mathbf ...

背景 Radiometry（辐射度量学）是研究光的物理量的学科，主要关注光的能量和强度等方面。它与光线追踪密切相关，因为光线追踪需要模拟光的传播和交互。 它定义了光在空间中的各种物理量，根据这些物理量用正确的物理方式来计算光照。 Radiant energy 辐射能 Radiant energy 是电磁辐射的能力，单位是焦耳（J）。通常使用符号 $ Q [J = Joule]$ 来表示。 Radiant flux/power 辐射通量 Radiant flux 是单位时间内能量发射，反射，传播，接收的能量量。单位是瓦特（W）。通常使用符号 $ \Phi = \frac{dQ}{dt}[W = Watt = J/s]$ 来表示。对于光而言，通常使用 lumen（流明）来表示。 Angle & Solid Angles 角与立体角 Angle 角 角度：弧长和半径的比值。 θ=lr\theta = \frac{l}{r}θ=rl​ 整个圆的角度是2π2\pi2π。 Solid Angle 立体角 立体角：是角度在三维空间中的推广。它是一个球面上某个区域的面积与球半 ...

表达几何的方式有很多种，基本可以分为两大类： 隐式表示 Algebraic Surface 代数曲面 Level Set 水平集 Distance Function 距离函数 Signed Distance Function(SDF): 有符号距离函数 Unsigned Distance Function(UDF): 无符号距离函数 … 显式表示 Point Cloud 点云 Polygon Mesh 多边形网格 subdivision, NURBS … 几何的表示方式 几何的隐式表示 隐式不会告诉具体的点在哪，只描述点满足什么约束关系，如对于一个球的隐式表示如下： x2+y2+z2=r2x^2 + y^2 + z^2 = r^2 x2+y2+z2=r2 更通用的表述方式为满足f(x,y,z)=0f(x, y, z) = 0f(x,y,z)=0的点集，就可以描述一个隐式的几何表示。 隐式表示的缺点是不直观并不知道有哪些点，优点是很轻易可以判断一个点是否在几何上，几何内还是几何外。 基于代数方法的隐式表示 使用代数方程来描述几何体 CSG(Const ...

图形学中 Sharding 的概念值对一个物体应用不同的材质的过程。 光照 Lighting Blinn-Phong 反射模型(BPR) Blinn-Phong 反射模型是对光线与物体表面交互的一个经验模型。 它将光线与物体表面的交互分为三个部分： 环境光：物体表面在没有直接光照的情况下的颜色 漫反射：物体表面在直接光照下的颜色，取决于光源的颜色和物体表面的颜色 高光反射：物体表面在直接光照下的高光部分，取决于光源的颜色、物体表面的颜色和观察者的视角 计算光线从一个着色点反射到相机中中的颜色： 输入变量定义如下： vvv: 观察者的视角的单位向量 lll: 表示光源的方向的单位向量 nnn: 物体表面着色点的单位法向量 表面材质（颜色，反光程度，…） 漫反射 一根光线从光源发出，照射到着色点后，会沿四周反射，即为漫反射。 Lambert’s Cosine Law 描述了漫反射的强度与光线入射角的关系。 当光线垂直入射时，物体表面几乎可以接收到全部的光线能量。 当光线倾斜入射时，物体表面接收到的光线能量会减少。 当光线平行于物体表面时，物体表面几乎无法接收到光线能 ...

光栅化是把标准化立方体渲染到屏幕上的过程 屏幕的定义： 一段像素数组 像素的数组长度就是分辨率的尺寸 屏幕是一个典型的光栅成像设备 像素的定义： Pixel 是 Picture Element 的缩写 一个简单的假设是每个像素认为是一个拥有单一颜色的小正方形（当然还有更复杂的假设放在后面讨论） 每个像素的颜色可以用 RGB 三个分量来表示 屏幕空间的定义（这里和虎书中的定义有所差别）： 屏幕空间是一个二维坐标系，原点在左下角，x 轴向右，y 轴向上 每个像素的索引由(x, y)唯一表示，x, y 均为整数 像素索引的范围是 [0,width−1]×[0,height−1][0, width-1] \times [0, height-1][0,width−1]×[0,height−1] 像素的中心点坐标为 (x+0.5,y+0.5)(x + 0.5, y + 0.5)(x+0.5,y+0.5) 屏幕空间的坐标范围是 [0,width]×[0,height][0, width] \times [0, height][0,width]×[0,height] Viewport ...

参考资料 本文是针对视频 https://www.bilibili.com/video/BV1ZF411f7Xv 整理的笔记 推导 椭圆的参数方程： {x=acos⁡θy=bsin⁡θ\begin{cases} x = a \cos \theta \\ y = b \sin \theta \end{cases} {x=acosθy=bsinθ​ 对参数方程求微分： {dx=−asin⁡θdθdy=bcos⁡θdθ\begin{cases} dx = -a \sin \theta d\theta \\ dy = b \cos \theta d\theta \end{cases} {dx=−asinθdθdy=bcosθdθ​ 则周长可以表示为： C=∫02πdx2+dy2=∫02π(−asin⁡θ)2+(bcos⁡θ)2dθ=∫02πa2(1−cos2θ)+b2cos2θdθ=∫02πa2−(a2−b2)cos2θdθ=a∫02π1−a2−b2a2cos2θdθ=4a∫0π21−a2−b2a2cos2θdθ\begin{aligned} C &= \int_0^{2\pi} ...