题目背景

如下图，在 Geogebra 中探索，绘图过程如下

绘制任意的三角形ABC,点E,D分别是AC边上的三等分点，点G,F分别是BC边上的三等分点;
连接AG,AF,BE,BD。
BE与AG,AF分别交于点J,K
BD与AG,AF分别交于点H,I

求出图形中的几个数值如下：

求出三角形ABC的面积 $t_1$
求出四边形JHIK的面积 $q_1$
求出四边形HGFI的面积 $q_2$
求出四边形KEDI的面积 $q_3$
求出四边形IDCF的面积 $q_4$

分别绘制出以下点，并显示出动点的运动轨迹：

$L(t_1,q_1)$
$M(t_1,q_2)$
$N(t_1,q_3)$
$O(t_1,q_4)$

观察发现L,M,N,O四个点均在各自的过原点的直线上运动，求出各个直线的斜率分别为 $k_L,k_M,k_N,k_O$ ，观察数值和图像，得到以下结论：

各自斜率各自为定值，即划分出的四个四边形的面积占整个三角形的面积的比值恒定
$k_M=k_N$ ，三角形的两个被三等分的边的两个三等分点对应的两个对顶的四边形面积相等

任意三角形

PS: 将Geogebra的精度提高后，得到四个比值分别如下：

$\begin{array}{l} k_L\, = \,0.128571428571429 \\ k_M\, = \,0.119047619047619 \\ k_N\, = \,0.119047619047619 \\ k_O\, = \,0.166666666666666 \\ \end{array}$

证明

几何方法

暂时不会。。。

解析几何方法

直角三角形特殊情形

首先考虑特殊情形，当∠ACB=90°时，则可以建系以暴力求解

$C(0,0)$
$D(0,h)$
$E(0,2h)$
$A(0,3h)$
$F(l,0)$
$G(2l,0)$
$B(3l,0)$
$AF:\frac{x}{l}+\frac{y}{3h}=1 \Rightarrow 3hx+ly=3hl$
$AG:\frac{x}{2l}+\frac{y}{3h}=1 \Rightarrow 3hx+2ly=6hl$
$BD:\frac{x}{3l}+\frac{y}{h}=1 \Rightarrow hx+3ly=3hl$
$BE:\frac{x}{3l}+\frac{y}{2h}=1 \Rightarrow 2hx+3ly=6hl$

联立直线AF与直线BD,BE，求出点I,K的坐标分别为：
$I(\frac{3}{4}l,\frac{3}{4}h),K(\frac{3}{7}l,\frac{12}{7}h)$

联立直线AG与直线BD,BE，求出点H,J的坐标分别为：
$H(\frac{12}{7}l,\frac{3}{7}h),J(\frac{6}{5}l,\frac{6}{5}h)$

多边形的面积可由叉乘累加计算得到

$q_1=S_{JHIK}=\frac{ \overrightarrow{CJ} \times \overrightarrow{CK} + \overrightarrow{CK} \times \overrightarrow{CI} + \overrightarrow{CI} \times \overrightarrow{CH} + \overrightarrow{CH} \times \overrightarrow{CJ} }{2}=\frac{ \frac{54}{35}hl-\frac{27}{28}hl-\frac{27}{28}hl-\frac{54}{35}hl }{2}=-\frac{27}{28}hl \\ q_2=S_{HGFI}=\frac{ \overrightarrow{CF} \times \overrightarrow{CG} + \overrightarrow{CG} \times \overrightarrow{CH} + \overrightarrow{CH} \times \overrightarrow{CI} + \overrightarrow{CI} \times \overrightarrow{CF} }{2}=\frac{ \frac{6}{7}hl+\frac{27}{28}hl-\frac{3}{4}hl }{2}=\frac{15}{28}hl \\ q_3=S_{KEDI}=\frac{ \overrightarrow{CK} \times \overrightarrow{CE} + \overrightarrow{CE} \times \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CD} \times \overrightarrow{CI} + \overrightarrow{CI} \times \overrightarrow{CK} }{2}=\frac{ \frac{6}{7}hl-\frac{3}{4}hl+\frac{27}{28}hl }{2}=\frac{15}{28}hl \\ q_4=S_{IDCF}=\frac{ \overrightarrow{CI} \times \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CD} \times \overrightarrow{CC} + \overrightarrow{CC} \times \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{CF} \times \overrightarrow{CI} }{2}=\frac{ \frac{3}{4}hl+0+0+\frac{3}{4}hl }{2}=\frac{3}{4}hl \\$

$S_{ABC}=\frac{1}{2} \cdot 3h \cdot 3l=\frac{9}{2}hl$

$k_L=\frac{q_1}{t_1}=\frac{27}{28}hl \div \frac{9}{2}hl=\frac{3}{14}$
$k_M=\frac{q_2}{t_1}=\frac{15}{28}hl \div \frac{9}{2}hl=\frac{5}{42}\approx 0.1190476$ 与 Geogebra 中的数值计算结果相同
$k_N=\frac{q_2}{t_1}=\frac{15}{28}hl \div \frac{9}{2}hl=\frac{5}{42} = k_M$
$k_O=\frac{q_4}{t_1}=\frac{3}{4}hl \div \frac{9}{2}hl=\frac{1}{6}\approx 0.166666$ 与 Geogebra 中的数值计算结果相同

任意三角形情形

实际上我们可以通过仿射变换将任意的一个三角形变换为另一个三角形（本质上是变换了基底），根据仿射变换的性质，两个封闭图形的面积比在变换前后不变，即将上述直角三角形中的结论推广到了任意三角形中。