泰勒展开公式定义

f(x)=f(x0)+f′(x0)1!(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+f(3)(x0)3!(x−x0)3+...+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x)f(x)=f(x_0) +\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) +\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 +\frac{f^{(3)}(x_0)}{3!}(x-x_0)^3 +... +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n +R_n(x)

其中n阶泰勒展开的近似多项式函数与原函数f(x)的误差使用Rn(x)R_n(x)作为误差替代。

拉格朗日余项

Rn(x)=f(n+1)(ε)(n+1)!(x−x0)(n+1)R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\varepsilon)}{(n+1)!}(x-x_0)^{(n+1)}

其中ε\varepsilon为x0x_0与xx之间的某个值。

皮亚诺余项

Rn(x)=o((x−x0)n)R_n(x)=o((x-x_0)^n)

拉格朗日中值定理

如果函数f(x)f(x)在闭区间[a,b][a,b]上连续，在开区间(a,b)(a,b)上可导，那么在开区间(a,b)(a,b)内至少存在一点ξ\xi使得f′(ξ)=f(b)−f(a)b−af'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}。

拉格朗日中值定理的几何意义

若连续曲线f(x)f(x)在点A(a,f(a))A(a,f(a))，B(b,f(b))B(b,f(b))之间的每一点处都有不垂直于xx轴的切线，则曲线f(x)f(x)在A、B间至少存在一点P(ξ,f(ξ))P(\xi,f(\xi))，使得该点处的切线与割线ABAB平行。

泰勒展开公式与拉格朗日中值定理的关系

当泰勒展开公式展开到0阶时，有

f(x)=f(x0)+f′(ξ)(x−x0)f(x)=f(x_0) +f'(\xi)(x-x_0)

即

f′(ξ)=f(x)−f(x0)x−x0f'(\xi)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

其中ξ\xi是x0x_0到xx之间的某个值。

我们发现实际上拉格朗日中值定理的就是对函数进行0阶泰勒展开的特例。

泰勒展开公式的几何意义

泰勒展开的本质上是使用多项式和多项式的各阶导数对原函数以及原函数的各阶导数进行近似的一种思想，下面可以探讨0·2阶泰勒展开的几何意义。

0阶展开

f(x)=f(x0)f(x)=f(x_0)

本质上是使用x_0处对函数值对x处对函数值进行近似。

1阶展开

f(x)=f(x0)+f′(x0)1!(x−x0)f(x)=f(x_0) +\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)

本质上是使用x0x_0处的原函数切线对x处附近的原函数进行近似。

继续求导得

f′(x)=f′(x0)f'(x)=f'(x_0)

一阶导数相等，即多项式函数在x0x_0邻域内的单调性与原函数保持一致。

2阶展开

f(x)=f(x0)+f′(x0)1!(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2f(x)=f(x_0) +\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) +\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2

f′(x)=f′(x0)+f′′(x0)(x−x0)f'(x)=f'(x_0)+f''(x_0)(x-x_0)

本质上是使用x0x_0处的原函数的一阶导数的切线对x处附近的一阶导数进行近似。

继续求导得

f′′(x)=f′′(x0)f''(x) = f''(x_0)

可以发现二阶导数也相等，即多项式函数在x0x_0邻域内的凹凸性与原函数保持一致。

n阶展开

随着展开阶数的递增，多项式函数在展开点x0x_0附近的函数性质越来越近似于原函数。

泰勒展开公式的推导

反复利用拉格朗日中值定理可推导出带拉格朗日余项的泰勒展开公式。

推导过程：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/537071746

常见函数的泰勒展开公式

https://zhuanlan.zhihu.com/p/138153530