关于二进制与公比为2的等比数列求和公式的思考

3位二进制最大表示的十进制数是多少？

3位二进制最大为(111)2(111)_2

换算成十进制位20+21+22=72^0+2^1+2^2=7

方法一：等比数列的求和公式为a1−anq1−q\frac{a_1-a_n q}{1-q}，这里a1a_1为首项，ana_n为尾项，qq为公比。
则有20+21+22=20−22×21−2=23−12^0+2^1+2^2=\frac{2^0-2^2 \times 2}{1-2}=2^3 - 1

方法二：我们知道(111)2=(1000)2−1(111)_2=(1000)_2-1，故有20+21+22=23−12^0+2^1+2^2=2^3-1

可以看出我们通过两种方法得到了相同的结果23−12^3-1。

关于k进制与公比为k的等比数列求和公式的思考

设有mm位kk进制数,nm...n1n0(n=0,1,2,...,k−1)n_m...n_1 n_0(n=0,1,2,...,k-1)，设其最大表示的数为S，则有：

S=k0+k1+...+km−1S=k^0+k^1+...+k^{m-1}

方法一：由等比数列求和公式得到S=1−km1−k=km−1k−1S=\frac{1-k^m}{1-k}=\frac{k^m-1}{k-1}

方法二：当m位k进制数的每一位均为k-1时，则m位k进制数达到了最大表示的值，此时若加一，则会发生进位，变为m+1位的k进制数，且最高位为1,故有如下式子成立：

(k−1)k0+(k−1)k2+...+(k−1)km−1+1=1×km(k-1)k^0+(k-1)k^2+...+(k-1)k^{m-1}+1=1\times k^m

即有S=k0+k1+...+km−1=km−1k−1S=k^0+k^1+...+k^{m-1}=\frac{k^m-1}{k-1}

总结

从上述推导可发现方法一和方法二均能够得到相同的结果。即可以通过k进制数来赋予等比数列求和公式一个实际意义。