以下公式仅用于辅助记忆，不可用于证明题，求积分公式本身的题目。

公式1

∫a2−x2dx=x2a2−x2+a22arcsinxa+C\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x = \frac x 2 \sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}2 arcsin \frac x a + C

如图，函数y=a2−x2y=\sqrt{a^2-x^2} 为上图的半圆，则原函数可表示为S=∫axa2−x2dxS=\int ^x _a \sqrt {a^2-x^2} dx,不妨设a=0a=0,x=xCx=x_{C}，则SS为如图阴影部分的面积。

阴影部分可拆分成两部分S1,S2S_1, S_2，

三角形部分的S2S_2可表示如下

S2=12xCyC=x2a2−x2S_2 = \frac 1 2 x_C y_C=\frac x 2 \sqrt{a^2-x^2}

扇形部分的S1S_1可表示如下，设扇形的角度α\alpha

α=∠CDF=∠DCE=arcsinxCR=arcsinxa\alpha=\angle CDF=\angle DCE= arcsin \frac {x_C} R=arcsin \frac x a

扇形的面积S1S_1

S1=12αR2=a22arcsinxaS_1 = \frac 1 2 \alpha R^2=\frac{a^2}{2} arcsin \frac x a

故得出SS

S=S1+S2=x2a2−x2+a22arcsinxaS=S_1+S_2=\frac x 2 \sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}2 arcsin \frac x a

原不定积分添加常数C，即得到积分公式

∫a2−x2dx=x2a2−x2+a22arcsinxa+C\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x = \frac x 2 \sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}2 arcsin \frac x a + C

公式2

∫x2−a2dx=x2x2−a2−a22ln∣x+x2−a2∣+C\int \sqrt{x^{2}-a^{2}} d x=\frac x 2 \sqrt {x^2 - a^2} - \frac{a^2}2 ln |x+\sqrt{x^2-a^2}|+C

PS: 这里暂时只说明当x>0x>0时的情况

y=x2−a2y=\sqrt{x^2-a^2}即x2a2−y2a2=1,y≥0\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2}=1,y\ge0，可画出如下图形

如图，原函数可表示为S2=∫bxx2−a2dxS_2=\int ^x _b \sqrt {x^2-a^2} dx,不妨设b=ab=a,x=xCx=x_{C}

S=SΔCDE==S1+S2S=S_{\Delta CDE=}=S_1+S_2

S=12DE×CE=x2x2−a2S=\frac 1 2 DE \times CE=\frac x 2 \sqrt {x^2-a^2}

S1S_1可由双曲函数的定义出发得出，

双曲余弦函数_百度百科 (baidu.com)

对于双曲线x2−y2=a2x^2-y^2=a^2而言，
设coshα=xacosh \alpha =\frac x a则有

S1=12a2α=12a2arccoshxaS_1=\frac 1 2 a^2 \alpha = \frac 1 2 a ^ 2 arccosh \frac x a

其中反双曲余弦可表示如下
arccoshx=ln(x+x2−1)arccosh x=ln(x+\sqrt{x^2-1})

arccoshxa=ln(x+x2−a2)−lnaarccosh \frac x a =ln(x+\sqrt{x^2-a^2})-lna

S1=a22ln(x+x2−a2)+C1S_1=\frac{a^2}{2} ln(x+\sqrt{x^2-a^2})+C_1

得到

S2=S−S1=x2x2−a2−a22ln(x+x2−a2)+CS_2=S-S_1=\frac x 2 \sqrt {x^2-a^2} - \frac{a^2}{2} ln(x+\sqrt{x^2-a^2})+ C

当x<0x<0时同理，最终得到以下积分公式

∫x2−a2dx=x2x2−a2−a22ln∣x+x2−a2∣+C\int \sqrt{x^{2}-a^{2}} d x=\frac x 2 \sqrt {x^2 - a^2} - \frac{a^2}2 ln |x+\sqrt{x^2-a^2}|+C

公式3

∫x2+a2dx=x2x2+a2+a22ln(x+x2+a2)+C\int \sqrt{x^{2}+a^{2}} d x=\frac x 2 \sqrt {x^2 + a^2} + \frac{a^2}2 ln (x+\sqrt{x^2+a^2})+C

实际上是公式2的双曲线焦点在y轴时的场景，记忆方式同公式2

公式4

∫sec3xdx=12secx tanx+12ln∣secx+tanx∣\int sec^3 x dx = \frac 1 2 secx \space tanx + \frac 1 2 ln |sec x + tan x|

该公式还可使用分部积分完成计算

PS: 这里只说明secx>0secx > 0时的情况

∫sec3xdx=∫secx dtanx\int sec^3 x dx = \int secx \space d tanx

令t=tanxt=tanx，则secx=t2+1secx=\sqrt{t^2+1}

∫secx dtanx=∫t2+1 dt=t2t2+1+12ln(t+t2+1)+C\int secx \space d tanx = \int \sqrt {t^2+1} \space dt = \frac t 2 \sqrt {t^2 + 1} + \frac 1 2 ln (t+\sqrt{t^2+1})+C

∫sec3xdx=12secx tanx+12ln(secx+tanx)+C\int sec^3 x dx = \frac 1 2 secx \space tanx + \frac 1 2 ln (sec x + tan x) + C

公式5

∫csc⁡3xdx=−12cscx cotx+12ln∣cscx−cotx∣+C\int \csc ^{3} x d x=-\frac 1 2 cscx \space cotx+\frac 1 2 ln |cscx-cotx|+C

同公式4

公式6

∫secx dx=ln∣secx+tanx∣+C\int secx \space dx=ln|secx+tanx|+C

PS: 这里只考虑secx>0的情况secx>0的情况

dt=sec2x dxdt=sec^2x \space dx

∫secx dx=∫1t2+1dt=ln(t+t2+1)+C=ln(tanx+secx)+C\begin{aligned} \int secx \space dx &=\int \frac 1 {\sqrt{t^2+1}} dt \\ &=ln(t+\sqrt{t^2+1})+C \\ &=ln(tanx+secx)+C \\ \end{aligned}

考虑secx<0secx<0时，则有

∫secx dx=ln∣secx+tanx∣+C\int secx \space dx=ln|secx+tanx|+C

公式7

∫1x2+a2dx=ln(x+x2+a2)+C=arcsinhxa+C\int \frac 1 {\sqrt{x^2+a^2}} dx=ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C=arcsinh\frac x a + C

如图换元并应用公式6得到

∫1t2+1dt=∫secx dx=ln∣secx+tanx∣+C=ln(t+t2+1)+C=arcsinhx+C∫1x2+a2dx=∫1(xa)2+1dxa=ln(xa+(xa)2+1)+C1=ln(x+x2+a2)+C2=arcsinhxa+C\begin{aligned} \int \frac 1 {\sqrt{t^2+1}} dt &= \int secx \space dx \\ &= ln|secx+tanx|+C \\ &=ln(t+\sqrt{t^2+1})+C \\ &=arcsinhx + C \end{aligned} \\ \begin{aligned} \int \frac 1 {\sqrt{x^2+a^2}} dx &= \int \frac {1} {\sqrt{(\frac{x}{a})^2+1}} d \frac x a \\ &=ln(\frac x a+\sqrt{(\frac{x}{a})^2+1})+C_1 \\ &=ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C_2 \\ &=arcsinh\frac x a + C \end{aligned}

公式8

∫1x2−a2dx=12aln∣x−ax+a∣+C\int \frac 1 {x^2-a^2} dx = \frac 1 {2a} ln|\frac {x-a} {x+a}| + C

∫1x2−a2dx=∫1(atant)2a sect tant dt=1a∫csct dt=1aln∣csct−cott∣+C=12aln∣(1−cost)2sin2t∣+C=12aln∣(1−cost)21−cos2t∣+C=12aln∣(1−cost)2(1−cost)(1+cost)∣+C=12aln∣1−cost1+cost∣+C=12aln∣1−ax1+ax∣+C=12aln∣x−ax+a∣+C\begin{aligned} \int \frac 1 {x^2-a^2} dx &=\int \frac 1 {(atant)^2} a \space sect \space tant \space dt \\ &=\frac 1 a \int csct \space dt \\ &=\frac 1 a ln|csct-cott| +C \\ &=\frac 1 {2a} ln |\frac{(1-cost)^2}{sin^2t}|+C \\ &=\frac 1 {2a} ln |\frac{(1-cost)^2}{1-cos^2t}|+C \\ &=\frac 1 {2a} ln |\frac{(1-cost)^2}{(1-cost)(1+cost)}|+C \\ &=\frac 1 {2a} ln |\frac{1-cost}{1+cost}|+C \\ &=\frac 1 {2a} ln |\frac{1-\frac a x}{1+\frac a x}|+C \\ &=\frac 1 {2a} ln |\frac{x-a}{x+a}|+C \\ \end{aligned}

公式9

∫1x2+a2dx=1aarctanxa+C\int \frac 1 {x^2+a^2} dx = \frac 1 {a} arctan \frac x a + C

换元得

∫1t2+1dt=∫1sec2xsec2x dx=x+C=arctant+C\begin{aligned} \int \frac 1 {t^2+1} dt &= \int \frac 1 {sec^2x} sec^2x \space dx \\ &= x + C\\ &= arctant + C\\ \end{aligned}

∫1x2+a2dx=1a∫1(xa)2+1dxa=1aarctanxa+C\begin{aligned} \int \frac 1 {x^2+a^2} dx &= \frac 1 a \int \frac 1 { {(\frac x a)}^2+1} d\frac x a \\ &= \frac 1 a arctan \frac x a + C \\ \end{aligned}

公式10

∫1a2−x2dx=arcsinxa+C\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} dx = arcsin \frac x a+C

∫11−x2dx=∫1costcost dt=t+C=arcsinx+C\begin{aligned} \int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} dx &=\int \frac 1 {cost} cost \space dt \\ &=t+C \\ &=arcsinx+C \\ \end{aligned}

∫1a2−x2dx=∫11−(xa)2dxa=arcsinxa+C\begin{aligned} \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^{2}}} dx &=\int \frac{1}{\sqrt{1-(\frac x a)^{2}}} d \frac x a \\ &=arcsin \frac x a+C \\ \end{aligned}

若将t设为另一个互补的角，则可得到另一个有意思的结果

∫11−x2dx=−∫1sintsint dt=−t+C=−arccosx+C\begin{aligned} \int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} dx &=-\int \frac 1 {sint} sint \space dt \\ &=-t+C \\ &=-arccosx+C \\ \end{aligned}

故可得出结论，

arcsinx+arccosx=C(C为常数)arcsinx+arccosx=C(C为常数)

不妨令x=0x=0，则计算得出C=π2C=\frac \pi 2,即

arcsinx+arccosx=π2arcsinx+arccosx=\frac \pi 2

总结

还有更多关于形如x2−a2,a2−x2,x2+a2,x2+a2,x2−a2,a2−x2\sqrt{x^2-a^2},\sqrt{a^2-x^2},\sqrt{x^2+a^2},x^2+a^2,x^2-a^2,a^2-x^2及其它们的倒数形式，它们均可通过三角换元转化成三角函数，反三角函数，通过双曲换元转化成双曲函数，反双曲函数形式下的积分(有关双曲换元的积分方法有兴趣的读者可自行探究)，这些公式之间能够相互联系，相互推导，体现了数学的统一之美。有兴趣的读者可以证明更多本文未提到的公式，并能够用更多方式去证明这些公式，使得公式之间相互推导。

同时某些积分公式虽然看起来相当复杂，但是可以通过赋予其几何意义直观得出，虽然不能用于严谨的积分公式的推导，但是可以辅助大家记忆他们。真正体现了我国数学家华罗庚先生所说的“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”。